chaostheorie (vraag)

[roosjemarijn]

Naast mijn studie moet ik een algemeen vormend vak doen, nu heb ik gekozen voor het onderwerp de chaos theorie. Ik moet nu een paar vragen maken, maar ik kom er bij een vraag niet uit. Volgens mij is het geen moeilijke vraag, maar ik weet in eerste instantie al niet wat 'mod.' betekent. Ik hoop dat iemand mij bij deze vraag een beetje op weg kan helpen.
Dat zou ik heeeel fijn vinden. De vraag luidt:

2. In het college hebben we meerdere malen “simpele” wiskundige voor-
beelden gebruikt om te begrijpen wat er nodig is voor chaotisch gedrag,
bijvoorbeeld de “×10” afbeelding op de cirkel. In deze vraag gaan we
daarom twee soortgelijke discrete dynamische systemen op een cirkel
van lengte 1 bekijken. Een punt op de cirkel wordt met het symbool
x aangeduid, dat de afstand van het punt 0 op de cirkel geeft. De
afbeelding behorende bij het eerste dynamische systeem is

x -> 2x mod (1).

De afbeelding bij het tweede dynamisch systeem is

x -> (1/2)x mod (1). (een half keer x)

a. In welke van deze dynamische systemen is chaotisch gedrag te verwachten? Leg uit waarom.

[Swlabr]

Wat is je vraag?

[roosjemarijn]

Darkiekurd schreef op 19-06-2007 @ 17:15 :
Wat is je vraag?

Sorry, het lukte even niet met het bericht, de vraag staat er nu op.

[Swlabr]

Ik kan je vraag helaas niet beantwoorden, maar 'mod' staat voor modulo. Een rest, zou je kunnen zeggen.

De tweede. De eerste beeldt gewoon een punt op een cirkel, met zekere hoek a, af op een punt op een cirkel met hoek 2a. Daar is niks chaotisch aan.

De tweede afbeelding heeft echter een zeer grote gevoeligheid voor de beginwaarde voor kleine waarden van x, omdat 1/(2x) (als dat is wat je bedoelt? is niet helemaal duidelijk) dan heel groot wordt.

[roosjemarijn]

De tweede afbeelding bedoelde ik (1/2)x mod. (1)
een half x.

Dan moet het de eerste zijn. Maar ik vind het maar halfslachtige chaos.

[roosjemarijn]

Waarom is het dan de eerste? Zou het niet ook kunnen zijn dat ze beide niet chaotisch zijn?

Nou, je zou het eerste geval wel als chaotisch kunnen beschouwen. Als je bijvoorbeeld met 0,72 begint, krijg je:

0,72 0,44 0,88 0,76 0,52 0,04 0,08 0,16 0,32 0,64 0,28 0,56 0,12 0,24 0,48 0,96 0,92 ...

Er zit wel regelmaat in, maar die is niet zo heel duidelijk. Als je met 0,71 begint, krijg je:

0,71 0,42 0,84 0,68 0,36 0,72 0,44 ...

Er is dus wel gevoeligheid voor de begincondities, maar het duurt "even" voor die zich echt openbaart.

[roosjemarijn]

Hmm oke, dat begrijp ik, maar hoe zou ik (zonder berekening) beschrijven waarom ik verwacht dan bij 2x mod.1 wel chaotisch gedrag verwacht maar bij 1/2 x mod1 niet? Dat begrijp ik nog niet helemaal..
Al vast bedankt iig. voor de reacties, ik stel het zeer op prijs

Bij de tweede krijg je bijv.

0,48 0,24 0,12 0,06 0,03 0,015 0,0075 ... 0
0,44 0,22 0,11 0,055 0,0275 ... 0

Zoals je ziet: geen gevoeligheid begincondities. Alle beginwaarden convergeren netjes naar 0.

[roosjemarijn]

Maar zou je, zonder iets te berekenen, kunnen verwachten dat bij de eerste afbeelding wel gevoeligheid ligt bij de begincondities en bij de tweede niet?
Zou je zeg maar in woorden kunnen onderbouwen wat de reden is? Of kan dat niet?

O ja hoor, bij deze klasse problemen, d.w.z. van de vorm:

x - > ax mod 1

Met a een constante, kun je zeker chaotisch gedrag verwachten voor |a|>1 en geen chaotisch gedrag voor 0<=|a|<=1.

[roosjemarijn]

Ik heb nog een vraag. Dit is de opgave:

3. Een ander veel besproken afbeelding is de logistische afbeelding. In deze
vraag beschouwen we alleen het geval dat de logistische afbeelding de
volgende vorm heeft
x -> 2x(1-x)
(a) Geef de eerste 4 iteraties van het beginpunt 0,3.
(b) Geef de eerste vier iteraties van het beginpunt 0,5. Waar gaat
dit beginpunt uiteindelijk naartoe? Waar gaat het beginpunt 0,3
uiteindelijk naartoe? Leg uit waarom?
(c) Leg uit wat er bijzonder is aan het punt 0.5, getekend in een
webdiagram voor de logistische afbeelding? Wat voor naam heeft
dit?

Bij a kreeg ik de volgende getallen eruit: 0,42 0,4872 0,49967 0,4999997853. Ik weet dat dit uiteindelijk eindigt in 0,5. De iteraties van 0,5 blijven volgens mij gewoon 0,5. maar nu moet ik uitleggen waarom dit zo is en ik moet ik aangeven wat er bijzonder is aan punt 0,5 getekend in een webdiagram voor de logitische afbeelding. hier loop ik helaas vast. Kan iemand mij hierbij helpen?

Als je x = 2x(1-x) oplost naar x, zul je zien dat 0,5 een oplossing is.

[roosjemarijn]

Oke dan begrijp ik de eerste twee vragen. Kan iemand me misschien ook helpen met vraag C. Ik vraag mij af wat een weddiagram voor logistische afbeelding is. Alvast bedankt.

Heb je geen vwo gedaan? Daar worden webdiagrammen behandeld.