[WI] natuurlijke logaritmen

hoi, hoe los je op :

(ln x)^3 * x = 1

ik kom er niet algebraïsch uit :/

iemand?

[ILUsion]

Ik vrees dat het zelfs niet algebraïsch kan, maar ik kan me vergissen. In ieder geval bekom ik ook geen analytische oplossing.

In het geval je geen analytische oplossing bekomt, mag je vaak gewoon een numerieke oplossing geven.

Met MATLAB, een grafisch rekenmachine (of desnoods met de hand) kan je wel de volgende methode gebruiken:

1. Maak een grafiek van de functie, vaak is het handiger om deze te herschrijven als f(x) = 0
2. Bepaal grafisch benaderd waar er nulpunten liggen
3. Gebruik in het programma een rootfinder (bv. fzero in MATLAB) met een waarde in de buurt van wat je gevonden hebt op de grafiek

Als je geen rootfinder-functie hebt, kan je natuurlijk ook manueel in de buurt van dat punt meerdere punten berekenen. Als je een punt x₁ en x₂ hebt waarvoor f(x₁) > 0 en f(x₂) < 0 , dan weet je dat je tussen x₁ en x₂ een nulpunt hebt liggen en kan je daartussen natuurlijk meer punten berekenen zodat je steeds een positieve en negatieve uitkomst hebt. Op een bepaald punt ga je dan ofwel 0 uitkomen als je geluk hebt of een heel kleine waarde (bv. 1 duizendste, 1 miljoenste, dat kies je een beetje zelf) besluit je dat de bijhorende x-waarde je oplossing is.

In MATLAB werkt dat als volgt:

f = @(x)(x .* log(x).^3 - 1)
x = 0.01:0.01:100; 
fx = f(x);
plot(x,fx); grid on; xlabel('x'); ylabel('f(x) = x \cdot ( ln x )^3 - 1');
% we vinden hier dat het ongeveer 2 is
fzero(f,2)

Voor verschillende TI-rekenmachines staat dat hier in het Engels uitgelegd met foto's.

De uitkomst die MATLAB geeft is ongeveer 2,166.

Er is geen algebraïsche oplossing. Mathematica zegt: "The equations appear to involve the variables to be solved for in an essentially non-algebraic way."

ln(x)^3*x=1
ln(x)*e^(1/3*ln(x))=1
1/3*ln(x)*e^(1/3*ln(x))=1/3
1/3*ln(x)=W(1/3)
x=e^(3*W(1/3)

Met W de Lambert W functie.

De benadering van x is dan inderdaad 2.166