[WI] Bewijs rond deelbaarheid

Hallo,

ik zit vast met een bewijs rond deelbaarheid.
het gegeven is: ggd(a,b)=1 en a is deler van m en b is deler van m.
Te bewijzen: a.b is deler van m

Ik heb al gevonden dat a en b onderling ondeelbaar zijn.
a is deler van m ==> m= q.a
b is deler van m ==> m = q.b

Maar dit leidt nergens toe. Kan iemand een tip geven?

[Siron]

Ik denk dat je het bewijs reeds hebt gevonden op het wiskundeforum! .

[the economist]

Siron schreef:

Ik denk dat je het bewijs reeds hebt gevonden op het wiskundeforum! .

Ja maar waar dan ?? Ik heb ook even zitten puzzelen, maar weet niet of dit genoeg is:

omdat M deelbaar is door a, en ook door b...
maar a en b hebben niets 'gemeen'....
...kun je zeggen dat je M eerst kunt delen door a, en daarna ook nog door b.

Je krijgt dan M/a = geheel getal, en dat dan / b is ook nog een geheel getal.

dit herschrijven ,let op de (.) want ik heb geen zin in formules maken
(M/a)/b = geheel getal.
=> M /(a*b) = geheel getal

[mathfreak]

Als a een deler is van m, dan is m een veelvoud van a. Voor b geldt een zelfde redenatie, dus wat volgt daaruit voor a∙b?

[the economist]

Ja, dat heb ik, maar dan vind ik in principe nog niets nieuws. je schrijft het alleen anders,
M = aA en M = bB, waarbij A en B de (priem)getallen die wij zoeken, en a en b = getal uit N.

Ik probeerde het ook nog via kwadrateren.maar ben er nog even niet uit. Dwz, niet een mooier bewijs dan ik hierboven leverde. Waarvan ik overigens wel vind dat het genoeg i, maar misschien kan het mooier ?
M=aA en M=bB en M=cAB waarbij te bewijzen is dat c = element uit N
M*M = aAbB, dit delen door cAB
M = ab/c, maar hier zie ik ook nog geen gat in.

[Siron]

We weten dat a een deler is van m, anders geformuleerd geeft dit: m=q.a en we weten ook dat b een deler is van a of anders gezegd door m gelijk te stellen aan q.a (zoals er staat) is b dan ook een deler van q en b ook een deler van a, maar vermits er geldt dat ggd(a,b)=1 kan b nooit deelbaar zijn door a en omgekeerd dus dat valt al weg.

We hebben nu dus:
m=q.a (1)
en
b is een deler van q of anders gezegd: q=n.b (2)

Als we (2) in (1) substitueren vinden we dat:
m=n.b.a <-> m=n.(b.a)
Dit impliceert dat b.a een deler is van m!

[the economist]

Siron schreef:

en we weten ook dat b een deler is van a

Dat is niet zo, b is helemaal geen deler van a. Ik heb nog even doorgelezen of het een schrijffout betrof, maar dat is niet zo. Daarmee valt de rest van je redenering weg.

Ik heb het ook met getallen geprobeerd.
A=3 en B=7
M=(bijv) 42
M=aA = bB
42 = 14x3 = 6x7

42 kun je eerst delen door 3, levert 14, en daarna nog eens door 7.
Omdat 3 en 7 niets gemeen hebben, levert delen door 3 geen 'waardeverlies' op.
Ik bedoel: de uitkomst M/A zou je nog steeds moeten kunnen delen door B.

In dat geval geldt: eerst delen door A en dan nog eens door B is hetzelfde als delen door (AxB)
Maar ik zou dat liever met getallen zeggen dan met woorden.

[Siron]

the economist schreef:

Dat is niet zo, b is helemaal geen deler van a. Ik heb nog even doorgelezen of het een schrijffout betrof, maar dat is niet zo. Daarmee valt de rest van je redenering weg.

Ik heb het ook met getallen geprobeerd.
A=3 en B=7
M=(bijv) 42
M=aA = bB
42 = 14x3 = 6x7

42 kun je eerst delen door 3, levert 14, en daarna nog eens door 7.
Omdat 3 en 7 niets gemeen hebben, levert delen door 3 geen 'waardeverlies' op.
Ik bedoel: de uitkomst M/A zou je nog steeds moeten kunnen delen door B.

In dat geval geldt: eerst delen door A en dan nog eens door B is hetzelfde als delen door (AxB)
Maar ik zou dat liever met getallen zeggen dan met woorden.

Een typfout, ik bedoel dat b een deler van m moet zijn en dan klopt mijn redenering denk ik wel.

[the economist]

Nee, ik zei al ik ging ervan uit dat het een typefout betrof, maar dan nog klopt het niet.
Je hebt dan immers

We hebben nu dus:
m=q.a (1)
en
b is een deler van q of anders gezegd:
M=n.b (2)

Als we (2) in (1) substitueren vinden we dat:

nu valt er niks te substitueren

je moet iets doen met die ggd-eigenschap.

[mathfreak]

the economist schreef:

Nee, ik zei al ik ging ervan uit dat het een typefout betrof, maar dan nog klopt het niet.
Je hebt dan immers

nu valt er niks te substitueren

je moet iets doen met die ggd-eigenschap.

Dat doet Siron ook.

Siron schreef:

We weten dat a een deler is van m, anders geformuleerd geeft dit: m=q.a en we weten ook dat b een deler is van a of anders gezegd door m gelijk te stellen aan q.a (zoals er staat) is b dan ook een deler van q en b ook een deler van a, maar vermits er geldt dat ggd(a,b)=1 kan b nooit deelbaar zijn door a en omgekeerd dus dat valt al weg.