differentiaalvergelijkingen

Zou iemand mij wat compacte info hierover kunnen geven?

En waar ik ook niet uitkom:

Gegeven is de diff. vergelijking dH/dt=-0.15H

Bereken voor hele waarden van 0<t<5 en 0<H<5 de waarde van dH/dt
zet de uitkomsten in een tabel
Teken het bijbehordende richtingsveld
Hoe blijkt uit een diff. verg. dat lijnelementen op een horizontale lijn allemaal dezelfde helling hebben?

dank

[mathfreak]

darkshooter schreef op 21-03-2003 @ 21:11:
Zou iemand mij wat compacte info hierover kunnen geven?

Mag het ook uitgebreide info zijn? Zo ja, kijk dan maar eens op http://www.sosmath.com/diffeq/diffeq.html

darkshooter schreef op 21-03-2003 @ 21:11:
En waar ik ook niet uitkom:

Gegeven is de diff. vergelijking dH/dt=-0.15H

Bereken voor hele waarden van 0<t<5 en 0<H<5 de waarde van dH/dt
zet de uitkomsten in een tabel
Teken het bijbehordende richtingsveld

Merk om te beginnen op dat dH/dt de afgeleide van H naar t voorstelt, dus dH/dt=H'(t)=-0.15*H. Het blijkt dat de afgeleide van een exponentiële functie H(t)=e^k*t de eigenschap H'(t)=k*H(t) heeft, ofwel dH/dt=k*H(t). In dit geval zien we dus dat H(t)=e^-0.15*t de oplossing van de differentiaalvergelijking (d.v.) dH/dt=-0.15*H voorstelt. Omdat dH/dt voor een gegeven punt (t,H) de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de oplossingskromme in dat punt voorstelt is aan de hand daarvan het bijbehordende richtingsveld te construeren.

darkshooter schreef op 21-03-2003 @ 21:11:
Hoe blijkt uit een diff. verg. dat lijnelementen op een horizontale lijn allemaal dezelfde helling hebben?

dank

Laat H=c een horizontale lijn voor een gegeven waarde van c voorstellen en laat dH/dt gegeven zijn, dan zal dH/dt de vorm dH/dt=f(H) hebben, dus voor H=c levert dat dH/dt=f(c)=constant op, wat betekent dat lijnelementen op een horizontale lijn allemaal dezelfde helling hebben als de bijbehorende d.v. van het type dH/dt=f(H) is.

[clowntjuh]

Weet iemand toevallig waarom de afgeleide van:
(sin(x))^x = sin(x)^x*(ln(sin(x))+x*cos(x)/sin(x))
Ik dacht namelijk dat het gewoon sin(x)^x*(ln(sin(x))*(cos(x)) moest zijn (kettingregel).

Ik snap dus ff absoluut niet waar dat stukje van +x*cos(x)/sin(x)) vandaan komt.

[mathfreak]

clowntjuh schreef op 23-03-2003 @ 11:53:
Weet iemand toevallig waarom de afgeleide van:
(sin(x))^x = sin(x)^x*(ln(sin(x))+x*cos(x)/sin(x))
Ik dacht namelijk dat het gewoon sin(x)^x*(ln(sin(x))*(cos(x)) moest zijn (kettingregel).

Ik snap dus ff absoluut niet waar dat stukje van +x*cos(x)/sin(x)) vandaan komt.

Schrijf f(x)=(sin(x))^x als e^g(x), dan geldt:
g(x)=ln(f(x))=ln(sin(x))^x)=x*ln(sin(x)), dus f(x)=e^x*ln(sin(x)). Pas nu bij het differentiëren van f de kettingregel toe, dan geldt:
f'(x)=g'(x)*e^g(x)=(ln(sin(x))+x*cos(x)/sin(x))(sin(x))^x. Je kunt g in dit geval opvatten als het produkt van h en k met h(x)=x en k(x)=ln(sin(x)), wat betekent dat k ook met behulp van de kettingregel moet worden gedifferentieerd, omdat k ook een samengestelde functie is.

[clowntjuh]

Dankjewel!! Maar hoe weet je dat je (sinx)^x als e^g(x) moet schrijven? Moet dat altijd als je een situatie hebt waarin je iets met een x tot de macht [..]x[..] doet?

[mathfreak]

clowntjuh schreef op 23-03-2003 @ 13:36:
Dankjewel!! Maar hoe weet je dat je (sinx)^x als e^g(x) moet schrijven? Moet dat altijd als je een situatie hebt waarin je iets met een x tot de macht [..]x[..] doet?

Het idee hier achter is dat een functie van de vorm e^g(x) een afgeleide g'(x)*e^g(x) heeft, en dat het dus altijd mogelijk is om een functie van de vorm f(x)=u(x)^v(x) als e^g(x) te schrijven. Zoals ik al aangaf geldt dan:
ln(f(x))=g(x), dus ln(u(x)^v(x))=v(x)*ln(u(x))=g(x).
Omdat geldt: f'(x)=g'(x)*e^g(x) is f'(x) dus op te vatten als de afgeleide van een samengestelde exponentiële functie, die met behulp van de kettingregel eenvoudig te differentiëren is. In dit geval krijg je voor g'(x) de uitdrukking v'(x)*ln(u(x))+u'(x)*v(x)/u(x). Vermenigvuldiging hiervan met e^g(x)=f(x) levert de uiteindelijke uitdrukking voor f'(x) op.