deurenprobleem

[Passiepascal]

jaja, jullie lezen het goed, alweer een topic over het eeuwig terugkomende deurenprobleem. Ik zal echter niet nogmaals de vraag stellen of het standaard antwoord geven, maar ik zal aantonen dat de vraag hoe hij vaak gesteld wordt niet te beantwoorden is vanwege het gebrek aan informatie. Allereerst het probleem:

U bent tot de finale doorgedrongen van een quizprogramma en het enige wat u nog rest is een deur kiezen uit drie deuren. Achter slechts een van de drie deuren zit een prijs. U kiest deur nummer 2. Nu komt de quizmaster u te hulp en zegt: "Ik weet achter welke deur de grote prijs zit en ik zal u helpen door een deur te openen waarachter de prijs niet zit". Hij opent deur 3 en laat zien dat er idd geen prijs achter zit. Nu moet u een definitieve keus maken: Blijft u bij uw kastje 2, of gaat u naar kastje 1?
De hamvraag is nu: Bij welk van de twee kastjes is de kans het grootst op de hoofdprijs?
Het standaard antwoord is: wisselen, met kans 2/3 op succes. Dit is niet helemaal waar zal ik u nu laten zien!

De juiste oplossing blijkt namelijk af te hangen van het gedrag van de quizmaster in het geval dat u meteen het kastje met de prijs hebt gekozen. Stel de prijs zit in kastje 2 en de quizmaster opent met kans p kastje 3 (en dus met kans 1-p kastje 1). De volgende kansboom brengt de situatie in beeld (onder de streep staat steeds de kans):

prijs zit in               quizmaster opent
 kastje 1                        kastje 3      1/3 <---|
|  1/3                              1                  |
|                                                      | (1+p)/3
|                                                      |
|                                kastje 3      p/3 <---|
|                          |        p
|kastje 2                  |
|  1/3                     |
|                          |     kastje 1      (1-p)/3
|                                  1-p
|
|
|kastje 3                        kastje 1      1/3
   1/3                              1

De kans dat kastje 3 geopend wordt bedraagt (1+p)/3; hieruit volgt:
P(prijs in kastje 2 | kastje 3 geopend) = (p/3)/((1+p)/3) = p/(1+p)

Zoals u ziet is voor de aannemelijk grootte van p=0.5 (dus dat kastje 1 of 3 echt willekeurig gekozen word door de quizmaster) de kans dat de prijs in kastje 2 zit gelijk aan .5/(.5+1) = 1/3 en de kans dat de prijs in kastje 1 zit gelijk aan 2/3. Maar mocht de quizmaster met kans 1 deurtje 3 openen dan is de kans dat de prijs in deurtje 2 zit 1/(1+1) = 1/2. Als p kleiner wordt dan 1 is de P(prijs in kastje 2) altijd kleiner dan een half en dus zal uw kans ongeacht het gedrag van de quizmaster nooit afnemen. Maar men kan dus niet zeggen dat de kans 2/3 is dat de prijs in de niet door u gekozen deur zit als er geen informatie is gegeven over het gedrag van de quizmaster!

[mrs me]

[GinnyPig]

Als ik het goed heb zit jouw fout in:
P(prijs in kastje 2 | kastje 3 geopend) = (p/3)/((1+p)/3) = p/(1+p)

Dit is de kans dat de prijs in kastje 2 zit, onder de voorwaarde dat kastje 3 wordt geopend. Immers deel je (de kans dat de prijs in kastje 2 zit + dat kastje 3 wordt geopend), door (de kans dat kastje 3 wordt geopend).

Vervolgens ga je dat gegeven toepassen op de situatie waarbij ook kastje 1 kan worden geopend. En dat kan niet zomaar.

Je moet het gehele plaatje erbij nemen. En daarbij moet je 2 situaties onderscheiden. 1 kastje is reeds geopend, en je kan dus of het goede of het foute kastje hebben gekozen.
De kans dat je de foute hebt gekozen is (na openen):
1/3 + 1/3 = 2/3
De kans dat je meteen de goede kast hebt gekozen is:
p/3 + (1-p)/3 = 1/3
Totale kans is 1.

In jouw geval:
kans dat je de goede kast (kastje 2) hebt gekozen, bij p = 1 (kastje 3 wordt dus geopend):
1/2 (rekende je zelf uit)
Maar wat zijn de overige situaties?
Prijs zit in kastje 3, kastje 1 wordt geopend:
1/3
Prijs zit in kastje 1, kastje 3 wordt geopend (volgens de berekening die jij ook had):
1/3/((1+p)/3) = 1/3/((1+1)/3) = 1/3
Totale kans: 1 1/6! Oftewel de kansverdelings is fout.

[Passiepascal]

zoals in de uitleg staat geschreven:
Hij opent deur 3 en laat zien dat er idd geen prijs achter zit
vervolgens ga ik kansen berekenen.

dus hier zit jouw fout:
Prijs zit in kastje 3, kastje 1 wordt geopend:
1/3
dit kan helemaal niet, want kastje 3 wordt geopend.

[GinnyPig]

Passiepascal schreef op 29-06-2003 @ 12:50:
zoals in de uitleg staat geschreven:
Hij opent deur 3 en laat zien dat er idd geen prijs achter zit
vervolgens ga ik kansen berekenen.

dus hier zit jouw fout:
Prijs zit in kastje 3, kastje 1 wordt geopend:
1/3
dit kan helemaal niet, want kastje 3 wordt geopend.

Hmm, idd, fout van mij... D'oh. Het leren schiet me naar m'n hoofd

Opnieuw dan:

Kastje 2 is gekozen, kastje 3 wordt geopend.

De mogelijkheden:
-Prijs zit in kastje 2
-Prijs zit in kastje 1

Kansen:
Prijs in kastje 2:
(p/3)/((1+p)/3) = p/(1+p)
Prijs in kastje 1:
(1/3)/((1+p)/3) = 1/(1+p)
Totale kans is 1.

Dus idd, je hebt wel gelijk . De kans is maximaal 1/2 dat je de goede deur hebt gekozen (en dus niet moet overswitchen). En dat is alleen als p=1. Maar het blijft verstandiger om te switchen (ook als p onbekend is) .