[WI] Integraal

Ske* · **30-10-2007, 12:27**

Hallo,

Ik ben op zoek naar de integraal van 1/ 2+cos x (naar x).
Ik vind hem niet direct. Heb al de cos x geschreven als andere mbv verdubbelingsformules maar het probleem is dat je dan met een kwadraat zit wat nog moeilijker is. Iemand een idee?

Dank je

asd · **30-10-2007, 16:44**

mbv een webversie van Mathematica kom ik uit op
$\int \frac{dx}{2+cos{x}} = \frac{2}{sqrt{3}} arctan{( \frac{tan({ \frac {x}{2} })} {sqrt{3}} )}$

Een exacte uitwerking kan ik je helaas niet geven, dat gaat me iets te ver atm

Swlabr · **30-10-2007, 17:36**

Is het niet gewoon $\frac{x}{2} + sin(x) + C$ ?

mathfreak · **30-10-2007, 17:38**

Citaat:

Ske* schreef:

Hallo,

Ik ben op zoek naar de integraal van 1/ 2+cos x (naar x).
Ik vind hem niet direct. Heb al de cos x geschreven als andere mbv verdubbelingsformules maar het probleem is dat je dan met een kwadraat zit wat nog moeilijker is. Iemand een idee?

Dank je

Stel tan(1/2*x)=t, dan geldt: $\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$ en $dx=\frac{2dt}{1+t^2}$ . Hiermee moet je er uit kunnen komen.

**30-10-2007, 19:10**

Inverse substitutie van tan(x/2), het magische wondermiddel!

TD · **30-10-2007, 20:58**

Of old-fashioned, het ding gewoon zelf aanvallen...

Er geldt: cos(2x) = 2cos²x+1 dus cos(x) = 2cos²(x/2)+1:

$ \frac{1}{{2 + \cos x}} = \frac{1}{{2 + 2\cos ^2 \frac{x}{2} - 1}} = \frac{1}{{1 + 2\cos ^2 \frac{x}{2}}} = \frac{1}{{3\cos ^2 \frac{x}{2} + \sin ^2 \frac{x}{2}}} $

In de laatste stap vervang ik 1 door sin²(x/2)+cos²(x/2).
Deel nu teller en noemer door cos²(x/2), dat levert:

$ \frac{{\frac{1}{{\cos ^2 \frac{x}{2}}}}}{{3 + \tan ^2 \frac{x}{2}}} = \frac{1}{3}\frac{1}{{1 + \left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}\tan \frac{x}{2}} \right)^2 }}\frac{1}{{\cos ^2 \frac{x}{2}}} = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\frac{1}{{1 + \left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}\tan \frac{x}{2}} \right)^2 }}\frac{1}{2}\frac{1}{{\frac{1}{{\sqrt 3 }}\cos ^2 \frac{x}{2}}} $

Dan wordt de integraal uiteindelijk:

$ \int {\frac{2}{{\sqrt 3 }}\frac{1}{{1 + \left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}\tan \frac{x}{2}} \right)^2 }}\frac{1}{2}\frac{1}{{\frac{1}{{\sqrt 3 }}\cos ^2 \frac{x}{2}}}dx} = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\int {\frac{1}{{1 + \left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}\tan \frac{x}{2}} \right)^2 }}d\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}\tan \frac{x}{2}} \right)} $

Uiteraard komt dit neer op die substitutie, maar valt nu niet uit de lucht.

$ \frac{2}{{\sqrt 3 }}\int {\frac{1}{{1 + \left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}\tan \frac{x}{2}} \right)^2 }}d\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}\tan \frac{x}{2}} \right)} = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\arctan \left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}\tan \frac{x}{2}} \right) + C $

**31-10-2007, 18:14**

TD vind ik beetje moeilijk
Mathfreak heeft geholpen

dank u allemaal!

**31-10-2007, 18:17**

Citaat:

Ske** schreef:

TD vind ik beetje moeilijk
Mathfreak heeft geholpen

dank u allemaal!

Het enige dat hij doet is de integrand herschrijven, zodat hij geen inverse substitutie hoeft toe te passen maar een 'normale'.

TD · **31-10-2007, 23:36**

Als je de (zogenaamde) "t-formules" kent (dit zijn de formules die mathfreak je gaf), is dat wellicht de snelste methode. Maar, ken je die niet, dan is het ook geen ramp. Ik wou maar tonen dat je er ook kan geraken zonder dat ''trucje"

Het ziet er misschien moeilijk uit, maar het is toch nuttig om proberen te begrijpen wat er gebeurt.

Soortgelijke topics
Forum	Topic	Reacties	Laatste bericht
Huiswerkvragen: Exacte vakken	[WI] integralen goniometrische functies angel1995	2	14-11-2012 19:38
Huiswerkvragen: Exacte vakken	[WI] integralen angel1995	3	29-10-2012 18:36
Huiswerkvragen: Exacte vakken	[WI] Integraal Verwijderd	3	22-09-2012 13:28
Huiswerkvragen: Exacte vakken	[WI] onbepaalde integraal Amber_7BWV	3	15-04-2011 17:48
Huiswerkvragen: Exacte vakken	[WI] Volume cilinder met integraal GotYa	5	19-02-2011 14:09
Huiswerkvragen: Exacte vakken	[WI] integraal sin(x)cos(x) rensd	2	27-06-2008 18:47

30-10-2007, 12:27
Ske*	Hallo, Ik ben op zoek naar de integraal van 1/ 2+cos x (naar x). Ik vind hem niet direct. Heb al de cos x geschreven als andere mbv verdubbelingsformules maar het probleem is dat je dan met een kwadraat zit wat nog moeilijker is. Iemand een idee? Dank je __________________ Lang , mijn systeembeheerder \| www.google.be \| Aspire 3020

30-10-2007, 16:44
asd	mbv een webversie van Mathematica kom ik uit op $\int \frac{dx}{2+cos{x}} = \frac{2}{sqrt{3}} arctan{( \frac{tan({ \frac {x}{2} })} {sqrt{3}} )}$ Een exacte uitwerking kan ik je helaas niet geven, dat gaat me iets te ver atm

30-10-2007, 17:36
Swlabr	Is het niet gewoon $\frac{x}{2} + sin(x) + C$ ? __________________ Laziness is nothing more than the habit of resting before you get tired.

30-10-2007, 19:10
Verwijderd	Inverse substitutie van tan(x/2), het magische wondermiddel!

31-10-2007, 18:14
Ske**	TD vind ik beetje moeilijk Mathfreak heeft geholpen dank u allemaal!

Advertentie