[wis] verandering

[Nolita]

Een steen wordt met een katapult recht omhoog geschoten. De hoogte h in meters na t seconden kun je berekenen met de formule h(t) = 30t - 5t^2

Benader de snelheid in m/sec op het moment dat de steen op de grond valt.

[belgo]

1. Je moet dus de snelheid uitrekenen op het moment dat de steen de grond raakt. Op dat moment is de hoogte nul: h(t) = 0

h(t) = 0 geeft 30t - 5t^2 = 0

De dikgedrukte vergelijking moet je oplossen. Je krijgt 2 t-waarden, waarvan er 1 nuttig is (de andere is waar de steen begint met stijgen, het punt 0,0 dus).

2. Je weet nu wanneer de steen de grond raakt, dus nu moet je de snelheid op dat moment uitrekenen. Dit doe je door h(t) te differentieren (als je dit nog niet hebt gehad, dan wordt je waarschijnlijk geacht een raaklijn op te stellen om het punt (t,h) waar de steen de grond raakt)

h'(t) = [30t - 5t^2]'

Met h'(t) kun je de snelheid (h') op elk moment van de beweging (t) berekenen, dus ook het moment t waar de steen de grond raakt.

Succes!

[Nolita]

differentieren heb ik nog niet gehad, dat gedoe met die raaklijnen snap ik ook niet echt...

[belgo]

Hmm.. hoor je een raaklijn te kunnen tekenen of gebruik je je GR voor dit soort berekeningen?

Een raaklijn tekenen is in dit geval vrij lastig, omdat je dan eerst de hele grafiek in je schrift moet tekenen en dat is opzich al onnauwkeurig.

Met je GR kun je ook de "steilheid" van de grafiek berekenen op een willekeurig punt. De steilheid geeft in dit geval de snelheid van de steen aan.

1. Voer h(t) in en plot de grafiek
2. Bereken het punt waar de grafiek de t-as snijdt
3. Open het calc menu (2nd -> TRACE)
4. Kies optie 6 (dy/dx)
Je krijgt nu weer de grafiek te zien
5. Voer de t waarde van stap 2 in en druk op ENTER
Je GR geeft dan de stijlheid op dat punt van de grafiek.

Ik weet niet of dit de correcte methode is voor jouw niveau, vraag het na bij je docent.

(dy/dx) is eigenlijk gewoon Δh / Δt = hoogteverschil / tijdverschil = afstand / tijd = snelheid

[Nolita]

Ja die methode gebruiken we, dat dy/dx. (mijn niveau is 4vwo Wisb1)

Ik snap van raaklijnen niet hoe je achter de vergelijking moet komen zonder je GR.

Bijv.: Gegeven is de funcit f(x) = x^3 - 6x^2 - 15x
a. Stel de vergelijking op van de raaklijn in punt (0,0)
b. Deze raaklijn snijdt de grafijk van f nog in een ander punt. Bereken de coordinaten van dat punt.

[blablalou]

hallo N..a,

uit de kinematica: s = vo t + 1/2 g t^2
jouw formule........ h=30 t - 5 t^2

dus v0 was in het begin 30 m/s en omdat wrijving verloosd is komt het ding met 30 m/s terug op de grond.
eigenlijk een beetje meer... maar ik weet je lengte niet.

[Nolita]

blablalou schreef op 22-10-2003 @ 21:20:
hallo N..a,

uit de kinematica: s = vo t + 1/2 g t^2
jouw formule........ h=30 t - 5 t^2

dus v0 was in het begin 30 m/s en omdat wrijving verloosd is komt het ding met 30 m/s terug op de grond.
eigenlijk een beetje meer... maar ik weet je lengte niet.

Ik snap er niets van wat je nu allemaal zegt

[belgo]

Een raaklijn is een lijn van het type y = ax + b.
a is hierbij de zogenaamde richtingscoefficient (de stijlheid op een punt van de grafiek van raaklijn y).

Voorbeeld:

f(x) = x^3 - 6x^2 - 15x
g(x) = ax+ b = de raaklijn van f(x) in het punt (0,0)

Als een lijn (hier g(x)) een functie (hier f(x)) raakt, dan zijn de richtingscoefficienten op het raakpunt (hier (0,0)) precies gelijk.

Met de dy/dx methode kun je de richtingscoefficient op het punt (x,y) uitrekenen. Hoe jij dit moet berekenen weet ik niet. Je kunt de dy/dx functie op je GR gebruiken, de functie f(x) differentieren of een raaklijn op papier tekenen.


Als je de richtingscoefficient (= a) hebt, dan is g(x) al half compleet. Deze gegevens heb je (a kun je dus berekenen met 1 van de bovenstaande methoden):

a = -15
g(x) = -15x + b
g(x) gaat door het punt (0,0) hij raak f(x) immers in dat punt

Nu deze (x,y) waarden invullen in je half-klare raaklijn g(x):

g(0) = 0
g(0) = -15 * 0 + b
-15 * 0 + b = 0
b = 0

Dus:

g(x) = -15x



Hoe je b) oplost met jouw methode weet ik niet. Het makkelijkst is f(x) differentieren en f'(x) = -15 oplossen.

@blablalou: Dat is natuurkundig. Het werkt wel bij dit voorbeeld, maar bij andere wiskundige opgaven kun je die formule niet gebruiken.

[Nolita]

Heel erg bedankt! Ik snap nu tenminste die vergelijking van de raaklijn...

Stijlheid is toch hetzelfde als differentiequotient?

deltaY/deltaX = f(b)-f(a)/b-a

Ofzo...

4v? geen differentieren!? Volgens mij was dat iets van het eerste wat ik kreeg, magoed....via dy/dx bereken je de afgeleide ook gewoon via je GR!

h=30t-5t^2
0=30t-5t^2
0=5t(6-t)
0=5t V 6-t=0
t=0 V t=6

Afgeleide van h=30t-5t^2
v= 30-10t

(wat ik gedaan heb is naX^(a-1) en dat voor beide gedeelten, snap je dat?! -->

Voor h1=30t is dus n=30 X=t en a=1,
a-1=1-1=0, t^0=1,
dus h1'=30.

h2=-5t^2 dus n=-5 X=t en a=2,
a-1=2-1=1,
t^1=t en die na=-5x2=-10,
dus h2'=-10t)

Dan vul je de gevonden t in voor de afgeleide v --> v=30-10x6=-30m/s, dit klopt want de steen valt omlaag en heeft dus een negatieve snelheid...

Beetje warrig, maar dit is het antwoord met uitwerking (van differentieren, dit wordt aangegeven door het ' achter de y of f(x) etc). Hopelijk snap je dit.....?

Raaklijn opstellen van een functie:
y=ax+b
a--> x invullen in afgeleide, y' (y van afgeleide) is dus a
y--> is hier al gegeven, dat is dus 0, mocht alleen de x gegeven zijn dan vul je deze in f(x) in en dan heb je alsnog de y
x--> is meestal gegeven hier ook, dat is 0, mocht alleen y gegeven zijn, bereken je de x dmv de y invullen op de plek van f(x)
b--> in de uiteindelijk te verkrijgen formule (y=ax+b) alle bekenden (als het goed is y,a,x) invullen en zo b berekenen.

Uitwerking jou voorbeeld:
f(x)=x^3-6x^2-15x
punt (0,0) ------> x=0, y=0

f(x)'= ax^(a-1)-6bx^(b-1)-15cx^(c-1)
Hier is a=3, b=2, c=1

f(x)'=3x^2-12x-15

f(0)'=3x0^2-12x0-15=-15
Dus a in y=ax+b is -15

Dan hebben we al y=-15x+b
Nu b -->
y was 0, x was 0 en a=-15
0=-15x0+b
0=0+b
b=0

Dus y=-15x

MAAR --> Dit hadden we al kunnen weten dat er geen b was, want wanneer een punt door de oorsprong (0,0) gaat is er nooit een b en zal de formule dus uit y=ax bestaan!!!

Tweede deel van je voorbeeldopgave:
f(x) en y hebben gemeenschappelijke punten, hetzelfde dus. Om hierachter te komen stellen we f(x)=y, dan komt de gemeenschappelijke x-coordinaat er uit.

x^3-6x^2-15x=-15x (-15x kan naar de andere kant, dus +15x)
x^3-6x^2=0 (vereenvoudigen, x naar voren halen, tussen haakjes zetten)
x^2(x-6)=0 (voor ax(bx)=0, schrijf je anders: ax=0, bx=0)
x^2=0 of x-6=0
x=0 of x=6

x=0 wisten we al dat f(x) dan ook 0 was. Voor x=6 weten we het nog niet en dat zal dus het bedoelde punt zijn.
dus f(6)=6^3-36^2-90=216-1296-90=-1170 (beetje groot, magoed, zou kunnen)

Coordinaat zal dan (6,-1170) zijn!

ALTIJD EVEN CHECKEN OP JE GR of het een beetje klopt


mmh.....dit is mijn wiskundige ingeving, hoop dat je er iets aan hebt! Zo niet....ach dan was ik maar weer even van de straat he!

[Nolita]

Ja dankje ik snap het!!

Dat differentieren heb ik met eco een beetje gehad, die man vond het ook al vreemd, de a'tjes hadden het wel gehad, en wij dus niet.. erg vreemd...

Ik snap het wel als ik het zo zie, hopelijk snap ik het morgen ook!

Iig bedankt voor de moeite!

[Daantje_0705]

Ik leerde ook pas differentieren in 5V dus zo gek is het niet dat ze het nog niet gehad heeft. Bij de methode Getal en Ruimte komt differentieren ook pas in het vierde boek voor wiskunde B.

[Fade of Light]

blablalou schreef op 22-10-2003 @ 21:20:
hallo N..a,

uit de kinematica: s = vo t + 1/2 g t^2
jouw formule........ h=30 t - 5 t^2

dus v0 was in het begin 30 m/s en omdat wrijving verloosd is komt het ding met 30 m/s terug op de grond.
eigenlijk een beetje meer... maar ik weet je lengte niet.

yep zo deed i het ook, de natuurkundemanier.

afstand = 1/2*g*t^2 (in geval van vallen)
hoogte = 30 t - 5*t^2
g = 9.8 m/s^2
dus:
afstand = hoogte
1/2*9.8*t^2 = 30 t - 5t^2
= { uitwerken }
4,9t^2 = 30t - 5t^2
= { +5t^2 aan beide kanten }
9.9t^2 = 30t
= { delen door t aan beide kanten }
9.9t=30
=
t = 30/9.9 (ongeveer 3)

invullen in de formule:
snelheid = acceleratie * tijd
snelheid = 9.8 * 3
snelheid = 30 (ongeveer) m/s

[blablalou]

hallo FoL,

In der Beschraenkung zeigt sich der Meister....

Waarom zo ingewikkeld?
Door vergelijk van de beide formules vind je v0 = 30 en 1/2g = -5
Dus g is hier voor het gemak 10 m/s^2 genomen.

[Fade of Light]

het is maar hoe precies je het wilt doen

[Nolita]

Ja, mijn methodes schijnen ook altijd ingewikkeld en weet-ik-veel-wat te zijn... Maar als ze toegestaan zijn en ze werken bij mij, waarom zou ik het dan veranderen??

Iig bedankt iedereen, had vandaag se hierover en hij ging goed!!

[blablalou]

Hallo FoL,

Eigenlijk mag je dat niet doen. Je verandert getallen!

In mijn oude binas staat nog de formule x =x0 + vo t + 1/2 g t^2
In jouw binas is dit verwaterd tot s = 1/2 a t^2 .
Je startte dus met een handicap. Maar de oplossing was wel origineel en getuigt van inzicht!!!

In de opgave staat: benader de snelheid...

Of men zoekt naar
> iets minder dan -30 m/s want het vertrekpunt lag boven bodem
> wat meer dan -30 m/s want er is ook nog wrijving
of
(ik begrijp dat het geen natuurkunde maar een wiskunde som is)
men zoekt naar de volgende oplossing:

uit binas: v(gem) = delta x/delta t = (h2 - h1)/(t2 - t1)
Bereken h1 voor t1 = 6.00 s en h2 voor t2 = 6.01 s
en je vindt v bij benadering via ( 30*6.01- 5*6.01^2 - 0.00)/0.01=-30.05 m/s