differentiaal vergelijking

[jbtq]

Ik heb de vergelijking f(x)accent=-f(x)^2/3
en erg geld dat f(-2)=1
Dit moet je dan oplossen door middel van scheiding van variablen. Ben al een aardig eindje gekomem, maar loop elke keer helaas vast.
Je heb dus f(x)accent=-f(x)^2/3
En daardoor geld ook:
f(x)accent/-f(x)^2/3=1
Nemen de integraal van [f(x)accent/-f(x)^2/3]= integraal[1]
ui de rechterlid komt dus x+c en voor de linker gebruiken we substitutie. f(x)=u en dus krijgen we dan:
de integraal[du/-u^(2/3)]. De primitieve daarvan is -3u^-2/3
En verder kwam ik dus niet. Hoe moet ik nu verder?/

Alvast bedankt

[GinnyPig]

Als al je stappen kloppen heb je nu dus de vergelijking:
-3u^-2/3 = x + c
Oftewel:
-3f(x)^-2/3 = x + c

Door deze om te schrijven in de vorm van f(x) = ... heb je de vergelijking opgelost.

[Dvalin]

f'(x) = -[f(x)^(2/3)]

stel y=f(x), dan:

dy/dx = -[y^(2/3)]

[y^(-2/3)] * dy = -1 * dx

integreren:

3*y^(1/3) = -x + C₁

en dus:

y = f(x) = (-x/3 + C₂)³,
met C₂ = C₁/3