derdegraadsvergelijk

[niels102]

Hoe los je derdegraadsvergelijkingen algabreisch op?
bijvoorbeeld:

3X^3 - 2X^2 + 5X + 34 = 0

Niels

[pol]

Ik zou zeggen : probeer op het zicht te ontbinden in factoren. Eens je 1 oplossing gevonden hebt houdt je een vierkantsvergelijking over die je makkelijk oplost.

Als je het niet op het zicht ziet : er bestaan formules voor, maar die zijn moeilijk en langdradig. Ik denk dat het beter is dat je de vergelijking dan numeriek oplost.

[musti]

Ontbinden in factoren gaat ni gaan, want je kan bij het getal 34 geen x buiten haakjes brengen.
Voor deze oefening kan je het beste het schema van Horner gebruiken.

[bulbanos]

musti schreef:
Voor deze oefening kan je het beste het schema van Horner gebruiken.

Ja, maar dan moet je kunnen delen door (x-a) en in dat geval is a=-1.824493169. Niet geheel dus en moeilijk te berekenen.

[Zorkman]

cardano,
zo noemt het toch denkek....

[Upior]

Zorkman schreef:
cardano,
zo noemt het toch denkek....

hoe moet dat dan?

[Zorkman]

mja,
da is gewoon een formule van cardano,
gebaseerd op dinges..
dinges....
eeeuhm formules van Ceva..nee..dienen was het nie...
allez gvd,
die fromules voor nulpunten van n-de graads veeltermen
ach gvd waarom ben ik zo slecht in namen onthouden..

nuja, da is gewoon dedie me die S1, S2, S3 etc etc
S1= a1.a2.a3....a(n+1)
S2= etc etc
enzovoort
(denk gewoon na voor een tweedegraad: -b/a en c/a)
en dan kunde ze deruit halen met substitutie

da zou mijn manier zijn,
maar as ge nie weet over wa da 'k het heb moede da dus nie bezigen aangezien ge dan wel een andere manier zult geleerd hebben...

nuja sorry 't wordt al ewa later en mijn neefken wilt nog es ganzenbord spelen
(ben al vier keer achter lekaar in de waterput gesukkeld...grrrrr...revenge!! )

[pol]

x^3 + a x^2 + b x + c = 0

Stel x = z - (a/3) , dit geeft de gereduceerde vergelijking : z^3 + p z +q = 0

waarin p = - a^2/3 + b en q = 2/27 * a^3 - ab / 3 + c


Discriminant D = (1/2 * q)^2 + (1/3 * p)^3 .

Voor D>0 : (formules van Cardano) :

Stel u = (-1/2 * q + sqrt(D))^(1/3) en

v = (-1/2 * q - sqrt(D))^(1/3) dan luiden de 3 oplossingen als volgt :

z1 = u+v ,
z2 = - (u+v)/2 + (u-v)/2 *sqrt(3) * i ,
z3 = - (u+v)/2 - (u-v)/2 *sqrt(3) * i

met i de imaginaire eenheid.

Voor D<0 (casus ireducibillis) :

De oplossing voor z^3 - p z +q = 0 :

Stel cos(phi) = + of - (q/2) / sqrt((p/3)^(3))

z1 = -2 * sqrt(p/3) * cos(phi/3)
z2 = -2 * sqrt(p/3) * cos(2*Pi/3 + phi/3)
z3 = -2 * sqrt(p/3) * cos(3*Pi/2 - phi/3)

Da waren de exacte oplossingen. Veel plezier ermee.