De axioma's van Peano

[Blitzkrieg Bop]

Er zijn geloof ik 7 axioma's waarop de moderne wiskunde gebaseerd is. Volgens mij zijn dit de axioma's van Peano.
Weet iemand een simpele zinnen aan mij uit te leggen welke dit zijn?

bb

[mathfreak]

Blitzkrieg Bop schreef op 04-07-2004 @ 19:08 :
Er zijn geloof ik 7 axioma's waarop de moderne wiskunde gebaseerd is. Volgens mij zijn dit de axioma's van Peano.
Weet iemand een simpele zinnen aan mij uit te leggen welke dit zijn?

bb

De axioma's van Peano hebben uitsluitend betrekking op de natuurlijke getallen, dus niet op de gehele wiskunde als zodanig. Ik zet ze even hier neer:
1) 1 is het eerste element van N
2) Bij ieder element n van N hoort een opvolger n' met n'=n+1
3) 1 kan geen opvolger zijn van een natuurlijk getal
4) m'=n' => m=n
5) als M een gegeven verzameling is met 1 als element en als voor ieder element n uit M ook n' in M zit, dan geldt: M=N.
Op dit laatste axioma berust het principe van volledige inductie. Dit principe gaat als volgt: laat P(n) een te bewijzen uitspraak over de natuurlijke getallen zijn, dan bewijzen we deze uitspraak als volgt:
i) we bewijzen eerst de juistheid van P(1)
ii) we veronderstellen dat voor een zekere k P(k) juist is (dit noemen we de inductiehypothese) en bewijzen vervolgens P(k) => P(k'). Dit bewijs wordt de inductiestap genoemd.
iii) Omdat P(1) geldt en omdat P(k) => P(k') geldt is P(n) juist voor alle waarden n uit N waarmee P(n) bewezen is.

[Blitzkrieg Bop]

ah oke. bedankt voor de moeite. zijn er andere axioma's die wel op de wiskunde als geheel betrekking hebben? Of op andere getallenreeksen?

[mathfreak]

Blitzkrieg Bop schreef op 06-07-2004 @ 15:50 :
ah oke. bedankt voor de moeite.

Graag gedaan.

Blitzkrieg Bop schreef op 06-07-2004 @ 15:50 :
zijn er andere axioma's die wel op de wiskunde als geheel betrekking hebben? Of op andere getallenreeksen?

De wiskunde als geheel is zo'n uitgebreid gebied met zoveel deelgebieden dat het onmogelijk is om voor de wiskunde als geheel een axiomastelsel op te zetten. Het is wel mogelijk om het optellen in de verzameling gehele getallen te beschrijven met de axioma's voor een groep, en als je naast de optelling ook de vermenigvuldiging van de gehele getallen erbij pakt, kun je gebruik maken van de axioma's voor een ring. De rationale getallen, dus de getallen van de vorm a/b met a en b geheel en b niet nul, zijn net als de reële getallen en de complexe getallen te beschrijven met de axioma's voor een lichaam (in het Vlaams: veld, vergelijk het Engelse "field") als je naast optellen en aftrekken ook de vermenigvuldiging en de deling erbij pakt. Voor verdere details verwijs ik je naar een leerboek over algebra.