Complexe functies

[JCH83]

Ik heb drie vraagjes over complexe functies.... Kan iemand helpen?

1. Bij de functie f(z)=z+a+bi hoort de translatie over (a,b) Bewijs dit.

2. Bij de functie f(z)=(a+bi).z met ABS(a+bi)=1 hoort rotatie over arg(a+bi) Bewijs dit.

3. Bij de functie f(z)=(a+bi).z hoort vermenigvuldiging ten opzichte van 0 met factor ABS(a+bi) gecombineerd met rotatie over arg(a+bi) Bewijs dit.

In de opgaven staat ABS voor de absolute waarde. (Dit i.v.m. gebrek aan absoluutstrepen op toetsenbord )
Ik kom er in het geheel niet uit, kan iemand helpen, alvast bedankt...

[pol]

Nou ja, daar valt niet veel aan te bewijzen.

Neem een willekeurig punt in het complexe vlak, en toon aan dat je het roteert, verschuift of herschaald.

Hier nog wat handige formules voor het tekenen :

z = x+yi = abs(z)*[cos(arg(z))+i*sin(arg(z))] = abs(z)*exp(i*arg(z))

[mathfreak]

Een complex getal a+b*i kan worden opgevat als een punt in het reële platte vlak met coördinaten (a,b). Stel dat A dit punt is en O de oorsprong, dan het complexe getal weergegeven worden als een vector (a,b) die met het beginpunt in de oorsprong ligt en A als eindpunt heeft. Dit betekent dat het punt O bij een translatie over (a,b) punt A oplevert, dus geeft f(z)=a+i*b een translatie over (a,b) weer. Het argument van het complexe getal a+b*i, notatie arg(a+b*i), is de hoek die de vector (a,b) met de positieve X-as maakt. Noemen we deze hoek p, dan geldt: arg(a+b*i)=p met tan(p)=b/a. Stel r=abs(a+b*i), dan is het complexe getal te schrijven als r(cos(p)+i*sin(p))=cos(p)+i*sin(p) wegens r=1. Laat z een complex getal zijn met r'=abs(z) en arg(z)=p', dan geldt: z=r'(cos(p')+i*sin(p')). Voor het produkt (a+b*i)z vinden we dan dat dit gelijk is aan r*r'(cos(p)+i*sin(p))(cos(p')+i*sin(p'))
=r*r'(cos(p)*cos(p')+i*cos(p)*sin(p')+i*cos(p')*sin(p)+i^2*sin(p)*sin( p'))=r*r'(cos(p)*cos(p')-sin(p)*sin(p')+i*(cos(p)*sin(p')+cos(p')*sin( p)))
=r*r'(cos(p+p')+i*sin(p+p')). Er geldt dus: abs((a+b*i)z)=r*r'
en arg((a+b*i)z)=arg((a+b*i))+arg(z)=p+p'. De vector die het complexe getal (a+b*i)z weergeeft maakt een hoek p+p'met de positieve X-as en heeft de lengte r*r' en wordt gevonden door de vector die z weergeeft met een factor r ten opzichte van O te vermenigvuldigen en deze vector vervolgens over een hoek p te roteren. Voor r=r=abs(a+b*i)=1 levert dit dus alleen een
rotatie over p=arg(a+b*i) op en in het geval r niet 1 is levert dit een vermenigvuldiging ten opzichte van O met de factor abs(a+b*i) op, gevolgd door een rotatie over de hoek arg(a+b*i).

[JCH83]

Duizendmaal dank!!