kettingregel

[~*Noa*~]

Wie kan mij de kettingregel duidelijk uitleggen, zodat ik het zelfs snap??

[autodropje]

School --> Exacte vakken

[Tampert]

Ik zal het proberen...

Stel je hebt een functie die bestaat uit twee, makkelijker te differentiëren delen. Bijvoorbeeld y=e^(x^2)^. e^x is makkelijk te diferentiëren en x^2 is ook vrij simpel.

De notatie van een afgeleide is dy/dx (de verandering van y pér eenheid dat de x verandert). als je nu het stukje van de te differentiëren functie, met de x erin, eens u noemt. Dus in ons bovenstaande voorbeeld neem je u = x^2. Dan heb je twee makkelijk op te lossen vergelijkdingen, namelijk:

dy/du = (e^(u))' = e^(u)
du/dx = ( x^2)' = 2x

Nu moet je eigenlijk dy/dx vinden. Als je dy/du vermenigvuldigt met du/dx dan krijg je:

(dy/du)*(du/dx) = (dydu)/(dudx), de du boven en onder de deelstreep wegstrepen geeft dy/dx.

dus:
dy/dx = dy/du * du/dx. Invullen wat ik bij het voorbeeld gevonden heb geeft:
dy/dx = 2x * e^u, dan weer gebruik maken van u = x^2 om uiteindelijk te vinden:

(e^(x^2))' = 2x * e^(x^2)

ik hoop dat ik het begrijpelijk heb gebracht

ik kan hem wel uitleggen maar mijn paint is down geef me ff de tijd om uit te puzzelen hoe ik hem met een ander programma kan doen

heb je eventueel een voorbeeld waar je niet uitkomt???

Tampert schreef:
Ik zal het proberen...

Stel je hebt een functie die bestaat uit twee, makkelijker te differentiëren delen. Bijvoorbeeld y=e^(x^2)^. e^x is makkelijk te diferentiëren en x^2 is ook vrij simpel.

De notatie van een afgeleide is dy/dx (de verandering van y pér eenheid dat de x verandert). als je nu het stukje van de te differentiëren functie, met de x erin, eens u noemt. Dus in ons bovenstaande voorbeeld neem je u = x^2. Dan heb je twee makkelijk op te lossen vergelijkdingen, namelijk:

dy/du = (e^(u))' = e^(u)
du/dx = ( x^2)' = 2x

Nu moet je eigenlijk dy/dx vinden. Als je dy/du vermenigvuldigt met du/dx dan krijg je:

(dy/du)*(du/dx) = (dydu)/(dudx), de du boven en onder de deelstreep wegstrepen geeft dy/dx.

dus:
dy/dx = dy/du * du/dx. Invullen wat ik bij het voorbeeld gevonden heb geeft:
dy/dx = 2x * e^u, dan weer gebruik maken van u = x^2 om uiteindelijk te vinden:

(e^(x^2))' = 2x * e^(x^2)

ik hoop dat ik het begrijpelijk heb gebracht

ik vond hem persoonlijker onduidelijker dan ons wiskundeboek solly wil niet kapsones klinken

[pol]

Met een veranderlijke (x) :

(g°f)' = g'(f) * f' (dit is de formule).

Hier een voorbeeldje om het wat duidelijker te maken.
Je wilt bijvoorbeeld de functie sin(2*x) afleiden :

Stel : g=sin(x) en f=2*x

Als je de formule toepast krijg je dus :

(sin(2*x))' = cos(2*x) * 2

Dus zonder er goed bij na te denken pas je constant de kettingregel toe bij het afleiden. 'k hoop dat het een beetje duidelijk is.

Was het dat dat je bedoelde? Of wou je uitleg over de kettingregel bij meerdere veranderlijken?

[mathfreak]

De kettingregel heeft betrekking op het differentiëren van een samengestelde functie. Stel dat de functie f is samengesteld uit de functies g en h volgens het voorschrift f: x->g(h(x)), dan geldt volgens de kettingregel dat de afgeleide van f wordt gegeven door het voorschrift f': x->g'(h(x))*h'(x).
Even een voorbeeld: de functie f: x->(x+1)^2 is op te vatten als een samenstelling van de functies g: x->x^2 en h: x->x+1. Om f(x) te bepalen bepaal je eerst x+1, ofwel h(x) en deze waarde moet vervolgens worden gekwadrateerd, wat betekent dat je g(x+1)=g(h(x))=(h(x))^2=(x+1)^2 bepaalt.
Om de afgeleide van f te vinden passen we de zojuist genoemde kettingregel toe. Dit geeft: f'(x)=g'(h(x))*h'(x)=2*h(x)*h'(x)=2(x+1)*1=2*x+2.
Waar het bij het gebruik van de kettingregel om gaat is dat je voor g en h een zodanig voorschrift kunt vinden dat f: x->g(h(x)) het gezochte voorschrift van de samengestelde functie f voorstelt.

[joël hendriks]

luister maar naar mathfreak

[pol]

joël hendriks schreef:
luister maar naar mathfreak

Moest je de reply's eens aandachtig lezen, zou je zien dat we alledrie hetzelfde zeggen.

[~*Noa*~]

Pff jeetje... super bedankt.. ik ga het zo maar eens uitprinten... en dan 100x doorlezen... het is ecxht mega-ingewikkeld... Ja voor de meeste van jullie misschien niet... Maar ik vind het echt verdraaid lastig... Maar ik ga het zo maar eens uitprinten...!! Super bedankt!!

[mathfreak]

pol schreef:
Moest je de reply's eens aandachtig lezen, zou je zien dat we alledrie hetzelfde zeggen.

Inderdaad. Het enige verschil zit hem in het gebruik van de notatie. Tampert maakt gebruik van de notatie met behulp van het differentiaalqutiënt (een notatie die door de 17e-eeuwse Duitse wiskundige Gottfried Wilhelm Leibniz is ingevoerd), terwijl pol en ik gebruik maken van de notatie die door de 18e-eeuwse Franse wiskundige Joseph Louis Lagrange is ingevoerd.