Formule voor Logaritme?

[Koen_S]

Ik ben zo iemand die niet genoeg heeft aan alleen weten dat als
a^x=b
a Log b = x

Ik wil graag weten, waarom dit zo is, hoe de functie in elkaar zit, de formule dus, en als het even kan ook nog wat uitleg.
Kan iemand me die dingen geven?
Alvast bedankt.

[wyner]

De definitie van Log(a,b) is de macht waarmee je a moet verheffen om b te krijgen. Zo is de functie eenmaal gedefinieerd.

[pol]

wyner schreef:
De definitie van Log(a,b) is de macht waarmee je a moet verheffen om b te krijgen. Zo is de functie eenmaal gedefinieerd.

Inderdaad. Het is een definitie, dus veel valt er niet over te zeggen.

[mathfreak]

De functie f met de eigenschappen f(1)=a en f(x1+x2)=f(x1)*f(x2) geeft aanleiding tot het definiëren van de exponentiële functie f: x->a^x. We willen nu voor x>0 een functie g definiëren zodanig dat f(g(x))=x, m.a.w. er moet gelden: a^g(x)=x. Er moet dan ook gelden: g(a)=1 en g(x1)+g(x2)=x1*x2. Dit geeft aanleiding tot het definiëren van de logaritmische functie g: x->log(x,a), waarbij log(x,a) de logaritme van x met het grondtal a voorstelt. Voor a=10 schrijven we deze logaritme als log(x) en noemen dit de gewone of Briggse logaritme naar Henry Briggs die in 1624 de logaritmen met grondtal 10 in zijn boek Arithmetica logarithmica publiceerde. Voor a=e met e ongeveer gelijk aan 2,71828 (de exacte waarde is de reeks 1 + 1/1! + 1/2! +...+ 1/n! +...) schrijven we deze logaritme als ln(x) en noemen dit de natuurlijke logaritme ("logarithmus naturalis", vandaar de notatie ln) van x. Het getal e wordt ook wel het getal van Euler genoemd, naar de 18e-eeuwse Zwitserse wiskundige Leonhard Euler.

mathfreak schreef:
<verhaal>

Zeg, mathfreak, kun je ook eens wat enters in je antwoorden zetten?

Nu is het geheel niet echt overzichtelijk...

Ps.: dit is niet aanvallend bedoeld

[Demon of Fire]

eddie schreef:
Zeg, mathfreak, kun je ook eens wat enters in je antwoorden zetten?

Nu is het geheel niet echt overzichtelijk...

Ps.: dit is niet aanvallend bedoeld

Ben ik het wel mee eens. Enters kunnen wonderen doen.

Groetjes
Ben(die het 'lezen' van wiskunde al moeilijk genoeg vind

[pol]

mathfreak schreef:
Het getal e wordt ook wel het getal van Euler genoemd, naar de 18e-eeuwse Zwitserse wiskundige Leonhard Euler.

Ik dacht dat e het getal van Neper werd genoemd. Of is het beide???

[mathfreak]

pol schreef:
Ik dacht dat e het getal van Neper werd genoemd. Of is het beide???

Of het getal e ook naar de Schotse wiskundige John Napier (of Neper) werd genoemd kan ik zo niet zeggen. Wel weet ik dat men de natuurlijke logaritme soms ten ontrechte de Neperse logaritme wordt genoemd. Om te beginnen kende Napier het begrip van een grondtal niet en bovendien baseerde hij zijn logaritmen op de formule y=a*e^x/a met a=10^7, wat inhield dat de Neperse logaritme van y de waarde 10^7(ln10^7-ln) zou hebben.
Even een opmerking aan eddie: ik gebruik enters alleen om lange teksten overzichtelijk in te delen. Omdat deze tekst niet zo lang is, is het aantal enters dus beperkt. Kortom: ik gebruik enters op dezelfde manier waarop ik drink, dus met mate, waarbij ik volledigheidshalve even op wil merken dat de mate waarin ik drink nog minder is dan de mate waarin ik enters gebruik.

[Koen_S]

pol schreef:
Inderdaad. Het is een definitie, dus veel valt er niet over te zeggen.

Als je rekenmaschine hem kan uitrekenen moet er een formule voor zijn

Okee... dit even herschrijven:

mathfreak schreef:
Of het getal e ook naar de Schotse wiskundige John Napier (of Neper) werd genoemd kan ik zo niet zeggen. Wel weet ik dat men de natuurlijke logaritme soms ten ontrechte de Neperse logaritme wordt genoemd. Om te beginnen kende Napier het begrip van een grondtal niet en bovendien baseerde hij zijn logaritmen op de formule y=a*e^x/a met a=10^7, wat inhield dat de Neperse logaritme van y de waarde 10^7(ln10^7-ln) zou hebben.
Even een opmerking aan eddie: ik gebruik enters alleen om lange teksten overzichtelijk in te delen. Omdat deze tekst niet zo lang is, is het aantal enters dus beperkt. Kortom: ik gebruik enters op dezelfde manier waarop ik drink, dus met mate, waarbij ik volledigheidshalve even op wil merken dat de mate waarin ik drink nog minder is dan de mate waarin ik enters gebruik.


in dit:
mathfreak schreef:

Of het getal e ook naar de Schotse wiskundige John Napier (of Neper) werd genoemd kan ik zo niet zeggen. Wel weet ik dat men de natuurlijke logaritme soms ten ontrechte de Neperse logaritme wordt genoemd.

Om te beginnen kende Napier het begrip van een grondtal niet en bovendien baseerde hij zijn logaritmen op de formule y=a*e^x/a met a=10^7, wat inhield dat de Neperse logaritme van y de waarde 10^7(ln10^7-ln) zou hebben.

Even een opmerking aan eddie: ik gebruik enters alleen om lange teksten overzichtelijk in te delen.
Omdat deze tekst niet zo lang is, is het aantal enters dus beperkt.
Kortom: ik gebruik enters op dezelfde manier waarop ik drink, dus met mate, waarbij ik volledigheidshalve even op wil merken dat de mate waarin ik drink nog minder is dan de mate waarin ik enters gebruik.


----------------------------
Veel duidelijker, toch?

Ooit gehoord van voegwoorden, koppelwoorden en die dingen?

Zinnen die beginnen met zuklke woorden (korton, omdat, etc) kun je het best op een nieuwe regel zetten...

Maar ja... dit is [b]weer[b] offtopic van mij.

[edit]
De UBB code gaat niet over meerdere alinea's...
[/edit]


[Dit bericht is aangepast door eddie (20-03-2002).]

[pol]

Koen_S schreef:
Als je rekenmaschine hem kan uitrekenen moet er een formule voor zijn

Je rekenmachine voert een numerieke benadering uit, voor zowel de logaritmische als de exponentiële functie.

Als je dan toch per se formules wil : hier zijn twee mogelijke reeksontwikkelingen :

De exponentiële functie ontwikkeld om de oorsprong :
exp(x) = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...

De logaritmische functie ontwikkeld om x=1 :
ln(x-1) = (x-1) -1/2 * (x-1)^2 + 1/3 * (x-1)^3 - 1/4*(x-1)^4 +...

Als je nog geen reeksontwikkelingen gezien hebt, denk ik niet dat je er veel van zult snappen.

Binnen een paar jaartjes zal alles wel duidelijker worden.

je rekenmachine rekent heel snel een getal uit door een soort van benadering welke macht er bij hoort.

[Koen_S]

darkshooter schreef:
je rekenmachine rekent heel snel een getal uit door een soort van benadering welke macht er bij hoort.

En hoe zit die benadering dan in elkaar?

Gewoon hij voert getallen in. En komt zo op de juiste:
voorbeeld:
de 2 log van 8
hij kijktis bij bv 2. verolgens moet het groter zijn dan 4 kleiner 3,5 kleiner 2,5 en dan 3.