Voor de wiskundigen onder jullie!!

[Roelade]

Ik zoek de uitkomst van de volgende som: 2x in het kwadraat - 2x - 12 = 0

[Demon of Fire]

ax^2 + bx + c = 0

2x^2 - 2x - 12 = 0

Delen door 2 levert.. (je zorgt er voor dat het getal a wordt weggewerkt)

x^2 - x - 6 = 0

Daarna ontbinden in factoren...som-produktmethode.

(x + 2) (x - 3) = 0

Dus x = - 2 en x = 3

Of je kunt de abc-formule gebruiken

-b +/- Wortel(D)/2a

D = b^2 - 4.a.c (D staat voor discriminant)


Wat je nu berekent hebt zijn de snijpunten met de x-as.

Groetjes
Ben(die niet meer hoeft te zeggen dat het eigenlijk op een ander forum hoort

[Roelade]

Hey bedankt man!

[Infaustus]

en nu in nederlands?

[Demon of Fire]

Infaustus schreef:
en nu in nederlands?

En nu in HET nederlands!

Groetjes
Ben(die het in de wiskunde-taal had beschreven

[mathfreak]

Demon of Fire schreef:
ax^2 + bx + c = 0

2x^2 - 2x - 12 = 0

Delen door 2 levert.. (je zorgt er voor dat het getal a wordt weggewerkt)

x^2 - x - 6 = 0

Daarna ontbinden in factoren...som-produktmethode.

(x + 2) (x - 3) = 0

Dus x = - 2 en x = 3

Of je kunt de abc-formule gebruiken

-b +/- Wortel(D)/2a

D = b^2 - 4.a.c (D staat voor discriminant)


Wat je nu berekent hebt zijn de snijpunten met de x-as.

Groetjes
Ben(die niet meer hoeft te zeggen dat het eigenlijk op een ander forum hoort

De abc-formule hoeft alleen maar gebruikt te worden als de vergelijking niet door ontbinden in factoren is op te lossen. In dit voorbeeld is ontbinden in factoren (na vereenvoudiging van de vergelijking) wel mogelijk, dus is het gebruik van de abc-formule niet nodig.

[Demon of Fire]

mathfreak schreef:

De abc-formule hoeft alleen maar gebruikt te worden als de vergelijking niet door ontbinden in factoren is op te lossen. In dit voorbeeld is ontbinden in factoren (na vereenvoudiging van de vergelijking) wel mogelijk, dus is het gebruik van de abc-formule niet nodig.

Weet ik, maar niet in iedereen is even goed of kan ontbinden in factoren.

Groetjes
Ben(die het niet als 'en en', maar als 'of of' bedoeld

[pol]

mathfreak schreef:

De abc-formule hoeft alleen maar gebruikt te worden als de vergelijking niet door ontbinden in factoren is op te lossen. In dit voorbeeld is ontbinden in factoren (na vereenvoudiging van de vergelijking) wel mogelijk, dus is het gebruik van de abc-formule niet nodig.

Ontbinden in factoren is altijd mogelijk!!!

[mathfreak]

pol schreef:


Ontbinden in factoren is altijd mogelijk!!!

Dat gaat misschien wel op als je met complexe getallen rekent, maar als je je beperkt tot reële getallen (wat hier in Nederland in het middelbaar onderwijs het geval is) gaat dat niet meer op.

[Tampert]

mathfreak schreef:

Dat gaat misschien wel op als je met complexe getallen rekent, maar als je je beperkt tot reële getallen (wat hier in Nederland in het middelbaar onderwijs het geval is) gaat dat niet meer op.

en het hangt ook van je definitie van het ontbinden in factoren af... Het lijkt mij onmogelijk als ik het niet met de hand kan... Want het is geen pretje om met 37 decimalen achter de komma te werken...

[pol]

mathfreak schreef:

Dat gaat misschien wel op als je met complexe getallen rekent, maar als je je beperkt tot reële getallen (wat hier in Nederland in het middelbaar onderwijs het geval is) gaat dat niet meer op.

Ok dan. Even herformuleren :

Elke veelterm is te ontbinden in lineaire factoren (bij de complexe getallen).

Elke veelterm is te ontbinden in factoren van maximaal de tweede graad (bij reële getallen).

Zo beter?

Roelade schreef:
Ik zoek de uitkomst van de volgende som: 2x in het kwadraat - 2x - 12 = 0

Ik weet niet in welke klas jij zit maar ik heb dit al in de tweede geleerd. En geloof me ik ben een ramp in wiskunde maar dit kan en snap ik.

[Roelade]

Geef dan ook maar es antwoord..

Roelade schreef:
Ik zoek de uitkomst van de volgende som: 2x in het kwadraat - 2x - 12 = 0

D= wortel(4-(-96))= 10
x=(2-10)/4= -2
x=(2+10)/4= 3

Roelade schreef:
Geef dan ook maar es antwoord..

tevreden?

[mathfreak]

darkshooter schreef:


D= wortel(4-(-96))= 10
x=(2-10)/4= -2
x=(2+10)/4= 3


tevreden?

Even een correctie: de waarde van D is gelijk aan 100 en niet aan
sqrt(100). Er geldt wel: x=(-b-sqrt(D))/2*a of x=(-b+sqrt(D))/2*a
met D=b^2-4*a*c.
Overigens is de abc-formule voor deze vergelijking niet nodig omdat alles door 2 kan worden gedeeld, waarna je een vergelijking overhoudt die door middel van ontbinden in factoren kan worden opgelost.

mathfreak schreef:

Even een correctie: de waarde van D is gelijk aan 100 en niet aan
sqrt(100).

Wat is het verschil dan? De uitkomst is toch goed?

[mathfreak]

darkshooter schreef:

Wat is het verschil dan? De uitkomst is toch goed?

Jij stelde de discriminant D gelijk aan de wortel uit b^2-4*a*c en dat klopt niet. Je moet eerst de discriminant D bepalen met de formule D=b^2-4*a*c en pas als je de abc-formule toepast moet je de wortel uit D trekken. In dit voorbeeld is D gelijk aan 100 en krijg je in de abc-formule de waarde
sqrt(100), wat 10 oplevert. Jij ging er echter ten onrechte van uit dat D al een wortel uit een gatal was. Je schreef namelijk: D= wortel(4-(-96))= 10, maar de juiste uitkomst voor D is: D=4-(-96)=4+96=100. Kijk er de theorie van de abc-formule maar eens op na.

[pol]

darkshooter schreef:

Wat is het verschil dan? De uitkomst is toch goed?

Gewoon de naamgeving was mis. Voor de rest was je oplossings methode perfect in orde.

Staar je niet stom op naamgevingen, het belangrijkste is dat je de oefening op een goede manier oplost.

[Johnnie-mannuh]

das makkelijk

[alienx]

Jongens toch, nu overdrijven jullie (vooral mathfreak dan) toch ook...

Die abc-formule toepassen is heel makkelijk en ik vraag mij dan af waarom je het in bepaalde gevallen niet zou MOGEN gebruiken. Ok het staat 'intelligenter' als je ontbindt, maar uiteindelijk is het de oplossing die telt, zelfs al bereken je alles uit je hoofd.

En de discriminant is idd niet =vkw. van b^2-4ac, maar uiteindelijk gebruik je het toch in die vorm.

Wiskunde is en blijft enkel een hulpmiddel om bepaalde zaken te berekenen, niet om bepaalde procedures correct te volgen. Een ingenieur gaat ook niet altijd de wiskunde toepassen 'zoals het hoort', als z'n uitkomst of berekening maar klopt. De gevolgde weg is bijzaak. Misschien kon hij/zij wel een of andere berekening eenvoudiger doen maar wat doet het ertoe?

Je kan verzot zijn op wiskunde maar zit dan aub niet de betweter uit te hangen door iedereen die het kleinste foutje maakt te verbeteren, heel irritant trouwens.

[alienx]

Oh ja, in België worden wel al complexe getallen gebruikt ('onderwezen')...
6de jaar ASO (te vgl. met VWO)

[Johnnie-mannuh]

abc-formule mag en kan altijd gebruikt worden bij een tweedegraatse functie

alleen als D minder dan 0 is moet je -b/2a uitrekenen om de top te vinden

[mathfreak]

alienx schreef:
Jongens toch, nu overdrijven jullie (vooral mathfreak dan) toch ook...

Die abc-formule toepassen is heel makkelijk en ik vraag mij dan af waarom je het in bepaalde gevallen niet zou MOGEN gebruiken. Ok het staat 'intelligenter' als je ontbindt, maar uiteindelijk is het de oplossing die telt, zelfs al bereken je alles uit je hoofd.

En de discriminant is idd niet =vkw. van b^2-4ac, maar uiteindelijk gebruik je het toch in die vorm.

Wiskunde is en blijft enkel een hulpmiddel om bepaalde zaken te berekenen, niet om bepaalde procedures correct te volgen. Een ingenieur gaat ook niet altijd de wiskunde toepassen 'zoals het hoort', als z'n uitkomst of berekening maar klopt. De gevolgde weg is bijzaak. Misschien kon hij/zij wel een of andere berekening eenvoudiger doen maar wat doet het ertoe?

Je kan verzot zijn op wiskunde maar zit dan aub niet de betweter uit te hangen door iedereen die het kleinste foutje maakt te verbeteren, heel irritant trouwens.

Even een misverstand ophelderen: ik heb nooit beweerd dat de abc-formule niet gebruikt zou mogen worden bij een tweedegraadsvergelijking die ook door ontbinden in factoren is op te lossen. Ik wil alleen maar even aanstippen dat de abc-formule bij uitstek geschikt is als zo'n ontbinding (zolang we althans binnen het lichaam van de reële getallen blijven) niet mogelijk is.
Ik ben het met je eens dat wiskunde een hulpmiddel is om bepaalde zaken te kunnen berekenen, maar naar mijn mening (maar dat hoeft niet noodzakelijk de jouwe te zijn) gaat het wel degelijk om het correct volgen van bepaalde procedures. Ik streef mede door mijn wiskundige achtergrond naar een zo hoog mogelijke mate van exactheid. Als mensen dat als betweterigheid beschouwen, dan spijt me dat omdat het niet als zodanig is bedoeld.
Dat in België wel complexe getallen in het wiskunde-onderwijs worden gebruikt weet ik omdat er in het tweede deel van Johan Wansinks Didactische oriëntatie voor wiskundeleraren een overzicht van het wiskunde-onderwijs in België wordt gegeven, zoals dat mede door Georges Papy is ontwikkeld.
Overigens is het zo dat het onderwerp complexe getallen tussen 1968 en 1983 als keuze-onderwerp bij het vak Wiskunde-II op het v.w.o. voorkwam en dat het in het verleden ook op de hogere burgerschool (HBS), de voorloper van het h.a.v.o. en het atheneum, aan de orde kwam, maar dat het in 1958 bij een herziening van de inhoud van het wiskundeprogramma voor de HBS werd geschrapt.

[GinnyPig]

Ik moet zeggen dat ik het wel met mathfreak eens ben. Je moet altijd streven naar een zo exact mogelijk antwoord, verkregen door de of een juiste methode.

En over het discriminant: Als iemand nog nooit van complexe getallen gehoord heeft, dan kan diegene dus niet altijd de ABC-formule toepassen. Dat, terwijl het discriminant wel altijd valt te berekenen. Als je complexe getallen buiten beschouwing laat weet je immers dat voor D geldt:
D > 0 -> 2 oplossingen
D < 0 -> geen oplossingen
D = 0 -> 1 oplossing

En das toch wat je echt eerst moet leren voordat je met iets als het getal i begint...

[alienx]

Tuurlijk moet je streven naar een zo exact mogelijk antwoord, nogal wiedes. :-)
Maar je zegt zelf, door het gebruik van EEN juiste methode, daarom niet de ideale ofzo...
En vooraleer ik complexe getallen heb leren gebruiken, heb ik idd
eerst die basis geleerd die jij daar vermeldt hoor ;-p

[alienx]

mathfreak schreef:

Even een misverstand ophelderen: ik heb nooit beweerd dat de abc-formule niet gebruikt zou mogen worden bij een tweedegraadsvergelijking die ook door ontbinden in factoren is op te lossen. Ik wil alleen maar even aanstippen dat de abc-formule bij uitstek geschikt is als zo'n ontbinding (zolang we althans binnen het lichaam van de reële getallen blijven) niet mogelijk is.
Ik ben het met je eens dat wiskunde een hulpmiddel is om bepaalde zaken te kunnen berekenen, maar naar mijn mening (maar dat hoeft niet noodzakelijk de jouwe te zijn) gaat het wel degelijk om het correct volgen van bepaalde procedures. Ik streef mede door mijn wiskundige achtergrond naar een zo hoog mogelijke mate van exactheid. Als mensen dat als betweterigheid beschouwen, dan spijt me dat omdat het niet als zodanig is bedoeld.
Dat in België wel complexe getallen in het wiskunde-onderwijs worden gebruikt weet ik omdat er in het tweede deel van Johan Wansinks Didactische oriëntatie voor wiskundeleraren een overzicht van het wiskunde-onderwijs in België wordt gegeven, zoals dat mede door Georges Papy is ontwikkeld.
Overigens is het zo dat het onderwerp complexe getallen tussen 1968 en 1983 als keuze-onderwerp bij het vak Wiskunde-II op het v.w.o. voorkwam en dat het in het verleden ook op de hogere burgerschool (HBS), de voorloper van het h.a.v.o. en het atheneum, aan de orde kwam, maar dat het in 1958 bij een herziening van de inhoud van het wiskundeprogramma voor de HBS werd geschrapt.

Uw zogenaamde betweterigheid wordt u hierbij vergeven...
Nee, maar het kwam zo wel eventjes over, maar ik kan best snappen dat je naar een zo hoog mogelijke mate van exactheid streeft. Als ik immers even nadenk, dan ben ik misschien ook wel van die ingesteldheid... Maar hier kon het misschien wat verwarrend overkomen voor degene die de topic opende, maar tegelijk is het ook een goede zaak dat hij onmiddellijk de volledig correcte uitwerking verkreeg.

GinnyPig schreef:
En over het discriminant: Als iemand nog nooit van complexe getallen gehoord heeft, dan kan diegene dus niet altijd de ABC-formule toepassen.

Je wilde dus beweren dat ik de ABC formule niet kan toepassen?

[mathfreak]

Ik wil nog even laten zien dat de uitspraak "Ontbinden in factoren is altijd mogelijk" van pol juist is. Wel moet er aan worden toegevoegd dat hiervoor een geschikte getalverzameling moet worden aangegeven waarin zo'n ontbinding kan plaatsvinden.
Laten we om te beginnen eens kijken hoe de ontbinding van a*x^2+b*x+c in Z (de verzameling gehele getallen) gerealiseerd kan worden. Laat a, b en c geheel zijn. Als a een deler is van b en c kunnen we de vergelijking a*x^2+b*x+c=0 links en rechts delen door a. We krijgen dan een vergelijking van de vorm x^2+r*x+s=0. Veronderstel dat dit te schrijven is als (x-p)(x-q)=0 ofwel x^2-(p+q)x+p*q=0, dan moet dus gelden: p+q=-r en p*q=s. Lukt het om zo'n p en q te vinden, dan is een ontbinding in factoren in Z mogelijk en anders niet.
We veronderstellen nu dat a*x^2+b*x+c=0 niet door ontbinding in Z kan worden opgelost, maar dat het wel mogelijk is om in Q (de verzameling rationale getallen) een oplossing x=r/s te vinden waarbij de grootste gemeenschappelijke deler van r en s 1 is. Het blijkt dan dat x=r/s alleen een oplossing kan zijn als geldt: r is een deler van c en s is een deler van a. Lukt het niet om zo'n r en s te vinden, dan is het niet mogelijk om in Q een oplossing te vinden.
In Q is een optelling, een aftrekking, een vermenigvuldiging en een deling (maar niet door nul) gedefinieerd zodat Q een wiskundige structuur heeft die we een lichaam noemen. In Vlaanderen spreekt men echter van een veld, in navolging van het Engelse "field". We gaan nu, zoals dat heet, een lichaamsuitbreiding van Q construeren waarin het wel mogelijk is om a*x^2+b*x+c=0 door middel van ontbinden in factoren op te lossen. We beschouwen daarvoor de verzameling van alle getallen van de vorm p+q*sqrt(D) met p en q elementen van Q en D=b^2-4*a*c, waarbij D geen kwadraat is. De verzameling van al deze getallen geven we aan met
Q(sqrt(D)). Dit is een voorbeeld van wat een kwadratisch getallenlichaam wordt genoemd. Voor D>0 is dit lichaam isomorf (van dezelfde wiskundige structuur) met het lichaam R van de reële getallen en voor D<0 is dit lichaam isomorf met het lichaam C van de complexe getallen.
Delen we de vergelijking a*x^2+b*x+c=0 links en rechts door a en stellen we r=b/a en s=c/a, dan gaat de vergelijking over in x^2+r*x+s=0. Veronderstel dat dit te schrijven is als (x-p)(x-q)=0
ofwel x^2-(p+q)x+p*q=0, dan moet dus gelden: p+q=-r=-b/a en p*q=s=c/a. Kiezen we voor p de waarde (-b-sqrt(D))/2*a en voor q de waarde (-b+sqrt(D))/2*a, dan geldt:
p+q=-b/2*a-sqrt(D)/2*a+(-b/2*a)+sqrt(D)/2*a=-2*b/2*a=-b/a
en p*q=(-b/2*a-sqrt(D)/2*a)(-b/2*a+sqrt(D)/2*a)=b^2/4*a^2-D/4*a^2
=(b^2-b^2+4*a*c)/4*a^2=4*a*c/4*a^2=c/a. We vinden dus als oplossingen voor de vergelijking a*x^2+b*x+c=0 de oplossingen x=p of x=q, die ons de uit de abc-formule bekende waarden verschaffen. Merk op dat p en q elementen zijn van Q(sqrt(D)) en dat p en q voor D>0 irrationaal zijn, maar een rationale som en een rationaal produkt hebben en dat p en q voor D<0 complex zijn (dus van de vorm a+b*i met a en b reëel
en i^2 = -1), maar ook een rationale som en een rationaal produkt hebben.

[GinnyPig]

darkshooter schreef:

Je wilde dus beweren dat ik de ABC formule niet kan toepassen?

Ik zeg het verkeerd... Ik bedoel dat je dan niet verder komt als het berekenen van het discriminant... Deze kan je namelijk wel altijd berekenen

In het geval dat D < 0 kan je dan stellen dat er geen oplossingen zijn. Maar als je, om de discriminant te krijgen, zou worteltrekken (zoals hierboven wordt gedaan), krijg je er helemaal geen discriminant uit. Vandaar al deze mierenneukerij

[pol]

mathfreak schreef:
Ik wil nog even laten zien dat de uitspraak "Ontbinden in factoren is altijd mogelijk" van pol juist is.

Nu had ik van jou toch minstens een bewijs voor de fundamentaalstelling verwacht.

*grijns *

[mathfreak]

pol schreef:


Nu had ik van jou toch minstens een bewijs voor de fundamentaalstelling verwacht.

*grijns *

De fundamentaalstelling, ook wel de zogenaamde hoofdstelling van de algebra genoemd, kan alleen met hulpmiddelen uit de complexe functietheorie worden bewezen en niet met zuiver algebraïsche hulpmiddelen, vandaar het bijvoeglijk naamwoord zogenaamd. Kijk voor een schets van het bewijs maar eens op http://www.cut-the-knot.org/do_you_k...damental.shtml

mathfreak schreef:
Ik wil nog even laten zien dat de uitspraak "Ontbinden in factoren is altijd mogelijk" van pol juist is.

Heel verhaal

Merk op dat p en q elementen zijn van Q(sqrt(D)) en dat p en q voor D>0 irrationaal zijn, maar een rationale som en een rationaal produkt hebben en dat p en q voor D<0 complex zijn (dus van de vorm a+b*i met a en b reëel
en i^2 = -1), maar ook een rationale som en een rationaal produkt hebben.

En dat om een simpele vergelijking op te lossen?

[mathfreak]

darkshooter schreef:

En dat om een simpele vergelijking op te lossen?

Misschien vind je mijn bewijs van de uitspraak "Ontbinden in factoren is altijd mogelijk" van pol erg overdreven, maar ik was niet tevreden over het feit dat hij een uitspraak deed zonder de juistheid daarvan te laten zien, vandaar dat ik dat maar gedaan heb. Zo zie je maar dat het oplossen van een tweedegraadsvergelijking niet zo vanzelfsprekend is als het misschien wel lijkt.
De moraal van dit verhaal: uitspraken poneren in het bijzijn van een wiskundige mag, mits je hem of haar maar laat zien waarop de uitsprak berust.

[pol]

mathfreak schreef:

De moraal van dit verhaal: uitspraken poneren in het bijzijn van een wiskundige mag, mits je hem of haar maar laat zien waarop de uitsprak berust.

Als ik mijn uitspraak niet bewijs is dat omdat het meerendeel er toch niets van zou begrijpen.
Hoeveel mensen hebben hier al complexe analyse gehad?

Roelade schreef:
Ik zoek de uitkomst van de volgende som: 2x in het kwadraat - 2x - 12 = 0

Wat een gedoe om niets hier

2x^2 - 2x - 12 = 0
x^2 - x - 6 = 0
(x - 3) (x + 2) = 0
x = 3 of x = -2

******** schreef:
Wat een gedoe om niets hier

2x^2 - 2x - 12 = 0
x^2 - x - 6 = 0
(x - 3) (x + 2) = 0
x = 3 of x = -2

zoals ik al zie