Wiskunde, coordinaten snijpunt berekenen

[Alexanchez]

Ik zit met een probleempje voor m'n taak van wiskunde. Het volgende snap ik niet:
In het boekje leggen ze het zo uit:

Noem het snijpunt (a,b) dan:
2a + 3b = 12 én a + 2b = 7

dus:
Combineer beide gelijkheden zó, dat er geen a óf b meer in voorkomt.

1 x (2a+3b) - 2 x (a +2b) = 1 x 12 - 2x 7
dus
2a + 3b - 2a - 4b = 12 - 14
dus:
-b = -2 dus b = 2

2a + 3b = 12, dus 2a + 6 = 12 dus a = 3
Het snijpunt is dus: (3,2)

Waarom worden hier de beginwaarden 1 x en -2 x gebruikt? Hoe komen ze op die getallen? Mogen dit ook andere waarden zijn, of moeten dit per see juist deze getallen zijn?

Bij voorbaat dank.

ik zou bij zo'n eenvoudig stelsel gewoon eerst a in b uitdrukken mbv de eerste vergelijking, en dat invullen in de 2e enz.

de tweede vergelijking a+2b=7 kun je ook schrijven als a=7-2b
deze a invullen in de eerste vergelijking dus
2*(7-2b)+3b=12
14-4b+3b=12
14-b=12
-b=-2
b=2
Deze b invullen in een van de twee vergelijkingen (mag in beide) geeft 2a+3*2=12
2a+6=12
2a=6
a=3
snijpunt (3,2)

[mathfreak]

Alexanchez schreef op 13-08-2004 @ 19:56 :
Ik zit met een probleempje voor m'n taak van wiskunde. Het volgende snap ik niet:
In het boekje leggen ze het zo uit:

Noem het snijpunt (a,b) dan:
2a + 3b = 12 én a + 2b = 7

dus:
Combineer beide gelijkheden zó, dat er geen a óf b meer in voorkomt.

1 x (2a+3b) - 2 x (a +2b) = 1 x 12 - 2x 7
dus
2a + 3b - 2a - 4b = 12 - 14
dus:
-b = -2 dus b = 2

2a + 3b = 12, dus 2a + 6 = 12 dus a = 3
Het snijpunt is dus: (3,2)

Waarom worden hier de beginwaarden 1 x en -2 x gebruikt? Hoe komen ze op die getallen? Mogen dit ook andere waarden zijn, of moeten dit per se juist deze getallen zijn?

Bij voorbaat dank.

Laten we de vergelijkingen eens onder elkaar schrijven:
2*a+3*b=12
a+2*b=7.
Om dit stelsel van 2 vergelijkingen met 2 variabelen op te lossen moeten we een van beide variabelen elimineren. Stel dat je a wilt elimineren, dan kunnen we het stelsel als volgt overvoeren in een gelijkwaardig stelsel:
2*a+3*b=12|*1|
a+2*b=7 |*2|.
We krijgen dan het stelsel
2*a+3b=12
2*a+4*b=14.
Trek de onderste vergelijking van de bovenste af. Dit geeft: -b=-2, dus b=2. Invullen van b=2 in a+2*b=7 geeft dan: a+4=7, dus a=7-4=3.
Wil je b elimineren, dan krijg je het volgende:
2*a+3*b=12|*2|
a+2*b=7 |*3|.
We krijgen dan het stelsel
4*a+6*b=24
3*a+6*b=21.
Trek de onderste vergelijking van de bovenste af. Dit geeft: a=3. Invullen van a=3 in a+2*b=7 geeft dan: 3+2*b=7, dus 2*b=4, dus b=2.
Daar in de onderste vergelijking de coëfficiënt voor a gelijk is aan 1 ligt het echter meer voor de hand om de substitutie a=-2*b+7 toe te passen en dit in de bovenste vergelijking in te vullen. Dit geeft dan een vergelijking in b, waaruit b is op te lossen. Invullen van de waarde van b in a=-2*b+7 geeft dan de bijbehorende waarde van a.

Volgens mij zijn de waarde 1 en 2 zo gekozen dat bij ofwel alleen a's ofwel alleen b's overblijven. Je had ook met bijvoorbeeld 2 en 3 kunnen vermenigvuldigen.
2x(2a+3b)-3x(a+2b)=2x12-3x7