[WI] Stochastische variabelen

[Kevin Markies]

Ik wil graag begrijpen waarom je met kansrekening op een toevalsvariabele uit kunt komen. Als iets met een bepaalde kans kan gebeuren dan is er toch geen sprake van toeval meer?

Ik bedoel ook dit. Als je de kans om drie keer 6 te gooien met een dobbelsteen uit wilt rekenen, moet je dan niet ook rekening houden met het aantal keren dat er al eerder (door een ander) met de dobbelsteen is gegooid?

Ik zie het verband niet geloof ik. Ik snap de berekeningen wel maar de logica van het toepassen niet.

Nog een voorbeeld. Je speelt roulette en anderen berekenen de kans dat deze draai een bepaald nummer valt (door de cijfers bij te houden). Ik zou dan zeggen, die kans is even groot als de draai ervoor. Ik bedoel, begint de kans van 1 op 37 bij het uitpakken van een nieuwe roulette tafel?

Snap je wat ik bedoel? De formules heb ik. Ik mis alleen uitleg over het 'waarom' en de toepasbaarheid. kan iemand mij uitleg geven?
Misschien heb ik een verkeerde definitie van kans en toeval in mijn hoofd zitten.

[Tochjo]

Stel dat we één keer met een dobbelsteen gooien. We hebben dan zes mogelijke uitkomsten: 1, 2, 3, 4, 5 en 6. Voordat we de dobbelsteen gooien, weten we niet welke van die zes uitkomsten uiteindelijk gegooid zal worden. Als X de uitkomst van de worp is, dan is de waarde van X afhankelijk van het toeval, vandaar de naam toevalsvariabele.

Een gebeurtenis is een uitspraak over de mogelijke uitkomsten. Als je met een dobbelsteen gooit, dan is "vijf of zes gooien" bijvoorbeeld een gebeurtenis. Een kans is een getal tussen 0 en 1 dat iets zegt over het mogelijk optreden van een gebeurtenis. Treedt de gebeurtenis met zekerheid op, dan heeft die gebeurtenis kans 1. Treedt de gebeurtenis met zekerheid niet op, dan heeft die gebeurtenis kans 0. Is er onzekerheid over het optreden van de gebeurtenis, dan heeft die gebeurtenis een kans tussen 0 en 1.

Bij het werpen van een dobbelsteen zijn de zes gebeurtenissen "één gooien", "twee gooien", "drie gooien", "vier gooien", "vijf gooien" en "zes gooien" alle even waarschijnlijk. Daarom hebben ze dezelfde kans. Samen dekken deze gebeurtenissen alle mogelijkheden af (als ik gooi, treedt minstens één van de gebeurtenissen op) en sluiten ze elkaar uit (als ik gooi, treedt hoogstens één van de gebeurtenissen op), dus is de som van de kansen op deze gebeurtenissen 1. Samen betekent dit dus: de kans op elk van de voorgenoemde gebeurtenissen is 1/6.

Een dobbelsteen onthoudt niet wat er al gegooid is. Bij iedere worp heb je opnieuw een kans van 1/6 op elk van de zes mogelijke uitkomsten, want elke uitkomst is even waarschijnlijk. Het is niet zo dat het aantal ogen dat daarvoor gegooid is, nu minder of meer waarschijnlijk is. Zo is bij roulette de kans op een bepaald cijfer iedere keer opnieuw 1 op 37, of de tafel nu nieuw is of niet.

Voor een formele definitie van uitkomst, gebeurtenis en kans kun je op Wikipedia de axioma's van de kansrekening eens doornemen.

[Kevin Markies]

Het blijkt dus dat ik de uitleg van toevalsvariabele verkeerd begrepen had. Het is dan toch gewoon de waarde van de uitkomst.
Heel erg bedankt voor je uitleg.
Ik zat helemaal mis te denken. Ik zat bij het woord 'toevalsvariabele' teveel te denken aan het woord 'toevallig'. Zo van als twee keer hetzelfde nummer achter elkaar valt dat je dan van 'toeval' spreekt. En dat tot mijn verbazing de kansrekening dat toeval zou gaan berekenen.

[ILUsion]

Kevin Markies schreef:

Ik wil graag begrijpen waarom je met kansrekening op een toevalsvariabele uit kunt komen. Als iets met een bepaalde kans kan gebeuren dan is er toch geen sprake van toeval meer?

Ik bedoel ook dit. Als je de kans om drie keer 6 te gooien met een dobbelsteen uit wilt rekenen, moet je dan niet ook rekening houden met het aantal keren dat er al eerder (door een ander) met de dobbelsteen is gegooid?

Ik zie het verband niet geloof ik. Ik snap de berekeningen wel maar de logica van het toepassen niet.

Nog een voorbeeld. Je speelt roulette en anderen berekenen de kans dat deze draai een bepaald nummer valt (door de cijfers bij te houden). Ik zou dan zeggen, die kans is even groot als de draai ervoor. Ik bedoel, begint de kans van 1 op 37 bij het uitpakken van een nieuwe roulette tafel?

Snap je wat ik bedoel? De formules heb ik. Ik mis alleen uitleg over het 'waarom' en de toepasbaarheid. kan iemand mij uitleg geven?
Misschien heb ik een verkeerde definitie van kans en toeval in mijn hoofd zitten.

Als een bepaalde gebeurtenis met een kans P kan voorkomen, wilt dat zeggen dat je niet op voorhand kan voorspellen dat die gebeurtenis zeker zal optreden. Bv. met die dobbelsteen, weet je (onder vrij logische veronderstellingen) dat je een kans van 1/6 hebt om een 1,2,3,4,5 of 6 te gooien. Maar je kan niet op voorhand zeggen: de volgende keer dat je gooit, zal je een 5 hebben. Dat is wat een toevalsvariabele is: je weet misschien wel de kansverdeling van de mogelijke uitkomsten, maar één enkele uitkomst kan je niet perfect voorspellen.

Met je tweede stelling, dat je rekening moet houden met de voorgeschiedenis, heb je in praktische situaties mogelijk gelijk. Normaalgezien maak je bij alle mogelijke berekeningen bepaalde aannames, je bouwt een model van de werkelijkheid om je berekeningen zo makkelijk mogelijk te maken zonder te veel op nauwkeurigheid in te boeten. Om de voorgeschiedenis te kunnen verwaarlozen, moet je eigenlijk stellen dat je in dit geval hebt dat de kansverdeling onafhandelijk is van de voorgeschiedenis. Dat komt er eigenlijk op neer dat de dobbelsteen die je nu opgooit, identiek is aan de dobbelsteen die je enkele uren daarvoor opgooide. In werkelijkheid zal dat ongeveer zo zijn, maar niet helemaal (bv. door hem vast te nemen, blijft er wat vet aan die dobbelsteen plakken, wat de kansverdeling kan beïnvloeden). Toegegeven, het is wat vergezocht en voordat het veel aan de kansverdeling zou veranderen, ben je uren/dagen/weken bezig. Daarom veronderstellen we meestal dat die dobbelsteen gelijk blijft en dus ook dat de kansen identiek blijven. Dat een dobbelsteen dus niet "onthoudt" of hij nu vers uit het pakje komt of dat er al miljoenen keren mee gegooid geweest is.

Bij roulette hetzelfde (of toch voor zover ik weet, ik heb het nog niet gespeeld): noch het rad, noch dat balletje heeft een noemenswaardig geheugen, dus is de uitkomst voor twee opeenvolgende beurten onafhankelijk.

Het is een andere zaak als je bv. naar Black Jack (en poker) kijkt. Het geheugen van dat spel zit hem immers in de stapel kaarten. Als je weet dat de vorige beurt bv. 4 azen zijn gevallen, weet je dat de kans op een aas nul is (als je 1 spel kaarten gebruikt), dat is omdat bij het voorkomen van een bepaalde gebeurtenis, die gebeurtenis ook niet meer kan voorkomen tot op een gegeven ogenblik en daar kan je gebruik van maken (toch om black jack te winnen).

In je tweede post zeg je het zelf ook al: bv. als je een dobbelsteen hebt (en veronderstelt dat die eerlijk is en eerlijk blijft), dan kan je gaan berekenen wat de kans is dat je tweemaal hetzelfde gooit na elkaar (die kans is 1/6, als je het zou willen weten). Maar je kan natuurlijk niet gaan berekenen dat die gebeurtenis zich zeker en vast zal voordoen op een bepaald moment.

[Kevin Markies]

Dus zeg maar wat ik dacht: als je bij roulette 99 keer geen nul hebt, dan is bij draai 100 gewoon de kans weer 1/37 om nul te hebben.
Ik krijg nu een beetje de neigingen om 1001 andere voorbeelden te noemen om nog meer te weten te komen hierover. Misschien moet gewoon even wachten tot ik verder in het boek ben.
Bedankt voor jullie uitleg.

[mathfreak]

Kevin Markies schreef:

Dus zeg maar wat ik dacht: als je bij roulette 99 keer geen nul hebt, dan is bij draai 100 gewoon de kans weer 1/37 om nul te hebben.

Dat is correct. De kans dat je bij 100 keer draaien 1 keer 0 krijgt is overigens .

[the economist]

toevalsvariabele, stochast en voorwaardelijke kans zijn gewoon begrippen waarvan de naam zo ongelukkig gekozen is dat onbegrip en verwarring welhaast zeker optreden. Nou ja, de kans daarop is althans groot
Belangrijk is het in zo'n geval altijd de definities duidelijk te hebben. Dat kan zijn : dit is de definitie van...., maar in verdere studie en in real life ook "onder ......verstaan wij in dit verband....."

[ILUsion]

the economist schreef:

toevalsvariabele, stochast en voorwaardelijke kans zijn gewoon begrippen waarvan de naam zo ongelukkig gekozen is dat onbegrip en verwarring welhaast zeker optreden. Nou ja, de kans daarop is althans groot
Belangrijk is het in zo'n geval altijd de definities duidelijk te hebben. Dat kan zijn : dit is de definitie van...., maar in verdere studie en in real life ook "onder ......verstaan wij in dit verband....."

Die begrippen zijn in mijn ogen wél goed gekozen, het is alleen een materie die voor veel mensen moeilijk is om te begrijpen en om ermee te redeneren omdat we maar al te graag volledig deterministisch denken, terwijl dat in kansrekening niet mogelijk is. We kunnen in veel gevallen een populatie deterministisch beschrijven (bv. met gemiddeldes), waar de individuele uitkomsten stochastisch zijn.

Een toevalsvariabele is immers gewoon een variabele waarvan de waarde afhangt van toeval.
Voorwaardelijke kans is de kans dat een gebeurtenis optreedt onder voorwaarde dat een andere gebeurtenis opgetreden is. In bv. informatietheorie bestaat er ook voorwaardelijke entropie die op een gelijkaardige manier gedefiniëerd wordt.
Een stochast is een toevalsvariabele, oftewel, een variabele waarvan de waarde zich stochastisch gedraagt. De term "stochastiek", vind ik daarentegen wel verwarrend, vermits dat zowel gebruikt wordt voor een "stochast" als voor het vakgebied "waarschijnlijkheidsleer" (gelukkig maar dat die term amper gebruikt wordt).

Ik zou er eerlijk gezegd geen betere namen voor weten of kunnen bedenken. Je hebt natuurlijk wel gelijk dat het belangrijk is om de definities van die begrippen goed onder de knie te hebben, vermits ze de basis vormen van je statistische kennis (en dat zijn nu eenmaal technieken die nuttig van pas kunnen komen).