integreren

[mayonaise]

Wat is het doel hiervan? (ik heb het nog niet gehad.)Ik moet zeggen wat voor nut het heeft of watde bedoeling is.

[pol]

Ik zal een paar toepassingen opsommen, maar ik zal er nog een hele boel vergeten zijn :

- Oppervlaktes, zwaartepunten, massamiddelpunten, ... berekenen.

- Integralen heb je ook nodig in de signaaltechniek.(Vb. fourier en laplace getransformeerde)

- Voor het modelleren en oplossen van fysische problemen (Vb. massa-veer systeem)

Kortom : In elke tak van de wetenschap heb je integralen nodig.

[mathfreak]

Je kunt integreren het beste opvatten als de tegengestelde bewerking van differentiëren. Bij differentiëren gaat het er om dat je van een gegeven functie f de afgeleide f' bepaalt. Bij integreren (ook wel primitiveren genoemd) gaat het er om dat je bij een gegeven functie f een functie F bepaalt zodat geldt: F'=f. We noemen F in dit geval de primitieve van f.
Als F de primitieve is van f en G de primitieve van g en als c een gegeven getal is, dan geldt: (F+G)'=F'+G'=f+g en (c*F)'=c*f.
Indien je behoefte mocht hebben aan meer informatie wat integreren betreft, dan kun je me bereiken op mijn e-mailadres arno.van.asseldonk@hetnet.nl.

[pol]

mathfreak schreef:
Je kunt integreren het beste opvatten als de tegengestelde bewerking van differentiëren. Bij differentiëren gaat het er om dat je van een gegeven functie f de afgeleide f' bepaalt. Bij integreren (ook wel primitiveren genoemd) gaat het er om dat je bij een gegeven functie f een functie F bepaalt zodat geldt: F'=f. We noemen F in dit geval de primitieve van f.
Als F de primitieve is van f en G de primitieve van g en als c een gegeven getal is, dan geldt: (F+G)'=F'+G'=f+g en (c*F)'=c*f.
Indien je behoefte mocht hebben aan meer informatie wat integreren betreft, dan kun je me bereiken op mijn e-mailadres arno.van.asseldonk@hetnet.nl.

Ik wil toch even kwijt dat strikt genomen integreren en primitiveren niet hetzelfde is. (Ookal worden de twee begrippen door velen door elkaar gebruikt).

[mathfreak]

pol schreef:
Ik wil toch even kwijt dat strikt genomen integreren en primitiveren niet hetzelfde is. (Ookal worden de twee begrippen door velen door elkaar gebruikt).

Ik heb er even mijn Encyclopedic Dictionary of Mathematics bijgepakt om eens te kijken hoe daar met het begrip integraal en met het begrip primitieve gewerkt wordt. De primitieve F van een functie f wordt daar gedefinieerd als de uitkomst van een integratie van f met a als ondergrens en x als bovengrens en t als integratievariabele. We kunnen F dus definiëren als een onbepaalde integraal.
Formeel is integreren niets anders dan de limiet van een som bepalen, maar deze limietdefinitie heb ik bewust buiten beschouwing gelaten om mijn uitleg niet al te ingewikkeld te maken.

[damaetas]

integreren is het klotigste stuk van wiskunde en je hebt het OVERAL voor nodig, BUHUUUUUUUUUUUU

[pol]

Ik heb alles nog eens na gelezen in mijn cursusnota's.

Ik heb gevonden dat een van de subtiele verschillen is dat je enkel kunt integreren op een op gesloten interval, terwijl je wel kan primitiveren op een open interval.

Verder zijn de voorwaarden voor primitiveerbaarheid (waarvoor trouwens geen criterium bestaat) iets strenger dan deze voor integrabilitiet.


[Dit bericht is aangepast door pol (21-03-2002).]

[wyner]

Wil het even weten:

Integreren = definite integral;
Primitiveren = indefinite integral, toch?

[pol]

wyner schreef:
Wil het even weten:

Integreren = definite integral;
Primitiveren = indefinite integral, toch?

Klinkt logisch (Maar ik ken de juiste engelse termen niet).

[mathfreak]

wyner schreef:
Wil het even weten:

Integreren = definite integral;
Primitiveren = indefinite integral, toch?

Niet helemaal correct. Integreren kan betrekking hebben op het bepalen van een onbepaalde integraal (Engels: indefinite integral) als de ondergrens van de integraal een constante is en de bovengrens een variabele (zie tevens mijn opmerking hierover in mijn vorige reply) of op het bepalen van een bepaalde integraal (Engels: definite integral) als beide integratiegrenzen constant zijn. De primitieve van een functie kan dan als een onbepalde integraal worden gedefinieerd.
De definitie voor de integraal zoals die hier in Nederland op het v.w.o. wordt onderwezen is in 1854 door de Duitse wiskundige Georg Friedrich Bernhard Riemann geïntroduceerd en wordt dan ook de Riemann-integraal genoemd. In 1902 volgde een uitbreiding van het integraalbegrip toen de Franse wiskundige Henri Léon Lebesgue in zijn proefschrift Intégrale, longeur, aire (Integraal, lengte, oppervlakte) de Lebesgue-integraal introduceerde, die een belangrijke rol speelt in de zogenaamde maattheorie.