Het algoritme v euclides & hoofdstelling v/d rekenkunde

[Siffie]

Hallo,

Ik heb ff de hulp nodig van een wiskunde genie!!!
Ik moet een wiskunde PO herkansen (dit is dus heel belangrijk). En ik heb 5 vragen waar ik egt niet uitkom. Ik heb net bijles gehad en toen kwamen we er zelfs niet uit. Sommige vragen begrijp ik niet eens. Er is haast bij want ik moet het vrijdag inleveren (t'is nie mijn schuld, kheb het maandagmiddag pas gekregen)
Nou hieronder de vragen alvast heel erg bedankt

Het algoritme van Euclides

8 Wat is de grootste gemeenschappelijke deler van 75 (=5 ∙ 5 ∙ 3) getallen die kunnen worden geschreven als zesrijtjes abcabc met
a uit {1, 3, 5, 7, 9}, b uit {0, 2, 4, 6, 8} en
c uit {0, 4, 8}

9We hebben 7, de grootste gemeenschappelijke deler van 395948 en 161623, als combinatie van deze twee getallen geschreven. Is deze combinatie uniek of zijn er ook nog andere?

De Hoofdstelling van de Rekenkunde

10 Toon aan dat �ã5, 3�ã7 en �ã2 + �ã3 irrationale getallen zijn.

11 Bepaal alle paren (x, y) van gehele getallen waarvoor geldt 81x + 64y = 1

12 Een rechthoek heeft een oppervlakte die gelijk is aan zijn omtrek. De zijden hebben een gehele lengte. Wat kunnen de lengte en breedte van de rechthoek zijn? Vind alle oplossingen.

Sylvie

Siffie schreef op 14-07-2004 @ 16:24 :
12 Een rechthoek heeft een oppervlakte die gelijk is aan zijn omtrek. De zijden hebben een gehele lengte. Wat kunnen de lengte en breedte van de rechthoek zijn? Vind alle oplossingen.

Sylvie

De oppervlakte kan nooit gelijk zijn aan de omtrek, want de eenheid is verschillend.

Dat zou hetzelfde zijn als zeggen 'de temperatuur van de baby is gelijk aan de lengte' als hij 37 graden celcius en 37 cm lang is.

Oftewel: hier wordt tegelijkertijd beweerd dat a=b en a=/=b.

[liner]

dat kan wel.. alleen als je geen eenheden gebruikt bijv.
AB=3, BC=5
de opp. = 10

liner schreef op 14-07-2004 @ 17:13 :
dat kan wel.. alleen als je geen eenheden gebruikt bijv.
AB=3, BC=5
de opp. = 10

Dat bedoelt hij dus. De waarden van de getallen kunnen best hetzelfde zijn, maar dan moet je niet over eenheden beginnen.

De laatste zin van Mephostophilis kan dan beter geschreven worden als
A=B maar [A] != [B]

[liner]

81x + 64y = 1
er geldt:
81=64*1+17 (1)
64=17*3+13
17=13*1+4
13=4*3+1
4=4*1+0

stel a =81 en b=64 dan geldt er volgens (1) dat
17=81-64=a-b en op dezelfde manier voor de andere rijen
13=64-3*17=b-3(a-b)=4b-3a
en
4=17-13*1=a-b-1(4b-3a)=4a-5b
1=13-4*3=4b-3a-3(4a-5b)=19b-15a
dus 81x + 64y = 1 geeft 19b-15a=1 met a=81 en b=64
dus (x,y)=(-15,19)
.. de andere antworden mag je zelf vinden

[Young Grow Old]

vraag 9: deze oplossing is niet uniek
als voor gehele getallen s,t geldt dat 395948*s+161623*t=7, dan 395948*(s-161623)+161623*(t+395948)=395948*s+161623*t+395948*161623-395948*161623=7

algemeen: als je s en t gevonden hebt, dan voldoen de oplossingen s+161623*x en t+395948*y, met x en y gehele getallen ook.

[Ratbout]

we snappen allemaal dat hier even niet met eenheden werd gepraat, dat is overduidelijk de opzet van de som. Anders is ie inderdaad niet mogelijk. gelijk zou even groot moeten zijn.

[liner]

10 Toon aan dat �ã5, 3�ã7 en �ã2 + �ã3 irrationale getallen zijn.
?
deze vraag kan ik helaas niet lezen..

[Siffie]

die ehm...frutsels zijn wortels

Siffie

[Young Grow Old]

sqrt(5) is irrationaal:
stel, er zijn 2 gehele getallen a,b, met ggd(a,b)=1 zo dat geldt a/b=sqrt(5).
=>a²/b²=5
=>a²=5b²
dus 5 is een deler van a².
Omdat 5 een priemgetal is, komt 5 dus voor in de priemfactorontbinding van a². Voor elk kwadraat geldt echter dat elke priemfactor een even aantal keer in de priemfactorontbinding voorkomt (voor dit bewijs, zie: http://forum.scholieren.com/showthre...light=kwadraat).
Dat wil zeggen dat 5 ook een deler is van a, maar dan is 25 een deler van a²=5b²
conclusie: 5 is een deler van b² en dus ook van b.
In tegenspraak met ggd(a,b)=1, dus deze a,b bestaan niet

Voor 3*sqrt(7), kun je volgens mij zeggen dat 3*sqrt(7) slechts rationaal is als sqrt(7) dit ook is (de rationale getallen vormen een lichaam, dus na vermenigvuldiging van 2 elementen in dit lichaam, zal de uitkomst ook in dit lichaam voor moeten komen (het lichaam is gesloten onder vermenigvuldiging)): zeg sqrt(7)=a/b met a,b gehele getallen en ggd(a,b)=1, neem voor 3*sqrt(7)=3*a/b. Bestaan deze a en b niet, dan dus ook geen 3*a en b.
Voor sqrt(7) kan dezelfde tegenspraak worden afgeleid als voor sqrt(5)

Hetzelfde geldt voor sqrt(2) + sqrt(3), alleen gebruik je nu de eigenschap van het lichaam Q dat het gesloten onder optelling is.

[mathfreak]

Siffie schreef op 14-07-2004 @ 16:24 :
8 Wat is de grootste gemeenschappelijke deler van 75 (=5 ∙ 5 ∙ 3) getallen die kunnen worden geschreven als zesrijtjes abcabc met
a uit {1, 3, 5, 7, 9}, b uit {0, 2, 4, 6, 8} en
c uit {0, 4, 8}

Dit is een kwestie van systematisch uitschrijven en de definitie van de ggd (grootste gemeenschappelijke deler) toepassen.

Siffie schreef op 14-07-2004 @ 16:24 :
9We hebben 7, de grootste gemeenschappelijke deler van 395948 en 161623, als combinatie van deze twee getallen geschreven. Is deze combinatie uniek of zijn er ook nog andere?

Stel dat x en y met 161623*x+395948*y=7 een gevonden combinatie is, dan is de combinatie x'=x-k*395948/7 en y'=y+k*161623/7 met k geheel eveneens mogelijk. De gevonden combinatie is dus niet uniek.

Siffie schreef op 14-07-2004 @ 16:24 :
10 Toon aan dat sqrt(5), 3*sqrt(7) en sqrt(2) + sqrt(3) irrationale getallen zijn.

Veronderstel dat je wilt aantonen dat sqrt(a) met a geen kwadraat irrationaal is. Veronderstel dat sqrt(a)=p/q met ggd(p,q)=1, dan geldt: a=p²/q², dus p²=a*q², dus a is een deler van p². Stel a is geen deler van p, dus p=k*a+r, dus p²=(k*a+r)²=k²*a²+2*k*a*r+r²=a(k²*+2*k*r)+r². Omdat a hiervan een deler is moet r ook een veelvoud van a zijn, dus p is een veelvoud van a, dus a is wel een deler van p, wat een tegenspraak oplevert. Stel a is een deler van p, dus p=k*a, dan geldt: p²=k²*a²=a*q², dus q²=k²*a, dus a is deler van q². Dan moet a ook een deler zijn van q, dus ggd(p,q)=a. Dit is echter in tegenspraak met ggd(p,q)=1, dus sqrt(a) is irrationaal.
Om te bewijzen dat 3*sqrt(7) en sqrt(2) + sqrt(3) irrationale getallen zijn hoef je alleen maar te bewijzen dat sqrt(7), sqrt(2) en sqrt(3) irrationale getallen zijn. Daaruit volgt dan automatisch dat dat 3*sqrt(7) en sqrt(2) + sqrt(3) ook irrationale getallen zijn.

Siffie schreef op 14-07-2004 @ 16:24 :
11 Bepaal alle paren (x, y) van gehele getallen waarvoor geldt 81x + 64y = 1

Er geldt: ggd(64,81)=1. Als ggd(64,81) een deler is van 1 (wat inderdaad zo is) heeft 81*x+64*y=1 een oplossing.
We gaan terugrekenen met het algoritme van Euclides om x en y te vinden:
81=1*64+17
64=3*17+13
17=1*13+4
13=3*4+1.
Nu rekenen we terug: 1=13-3*4
=13-3(17-1*13)=4*13-3*17
=4(64-3*17)-3*17=4*64-15*17
=4*64-15(81-64)=19*64-15*81, dus x=-15 en y=19 is een oplossing. Bekijk nu de vergelijking 81*x+64*y=0. Deze heeft x=-64*t en y=81*t als oplossing. Tel deze x en y bij de andere op, dan heeft 81*x+64*y=1 de algemene oplossing x=-64*t-15 en y=81*t+19.

Siffie schreef op 14-07-2004 @ 16:24 :
12 Een rechthoek heeft een oppervlakte die gelijk is aan zijn omtrek. De zijden hebben een gehele lengte. Wat kunnen de lengte en breedte van de rechthoek zijn? Vind alle oplossingen.

Stel de lengte x en de breedte y, dan geldt: 2*x+2*y=x*y,
dus 2*x+2*y-x*y=2*x+y(2-x)=0, dus 2*x=-y(2-x). Er moet gelden: x,y>0, dus -y(2-x)>0, dus 2-x<0, dus x>2. Stel x=2+t met t>0, dan geldt:
4+2*t=-y*-t=y*t, dus t(y-2)=4. Voor t=1 vinden we: x=3 en y=6, voor t=2 vinden we: x=y=4, voor t=4 vinden we: x=6 en y=3. Dit zijn tevens de enige 3 mogelijke gehele oplossingen.

[Young Grow Old]

vraag 8: ik denk dat het antwoord 4 moet zijn:
4 is zeker een deler van al die getallen, omdat de laatste twee cijfers uit b en c komen en alle even tientallen (in b staan enkel even getallen) plus een viervoud (in b staan enkel 4 vouden) ook een viervoud zijn (je kunt er steeds 20 vanaf trekken, tot je 0, 4 of 8 over hebt).
Als je naar een willekeurig te maken getal 100004 kijkt, heeft dit volgens mij een priemfactorontbinding 2*2*23*1087
Pak je het getal 128364 erbij, dan zie je dat dit getal niet door 23 en niet door 1087 deelbaar is.
Het antwoord zou dus ten hoogste 4 kunnen zijn en dit klopt voor alle getallen: het antwoord is dus 4

[Ratbout]

young grow old: bijna goed, maar omdat het getal uit abcabc bestaat is het antwoord 4004. 4 voor de eerste abc en 4 voor de tweede. Als je me niet gelooft, ga maar een tegenvoorbeeld zoeken

[Young Grow Old]

Ratbout schreef op 15-07-2004 @ 00:29 :
young grow old: bijna goed, maar omdat het getal uit abcabc bestaat is het antwoord 4004. 4 voor de eerste abc en 4 voor de tweede. Als je me niet gelooft, ga maar een tegenvoorbeeld zoeken

naar mijn weten is 100004 niet deelbaar door 4004 (=24 + 96096/100004) en 4004 is ook op geen enkele manier te maken uit de priemgetallen die 100004 representeren, dit kan dus niet goed zijn.

[Ratbout]

100004 is dan ook niet in de vorm abcabc =P