paravoorstelling

[jbtq]

Oke een vraagje.

Ik heb een lijn met een vector voorstelling van

[4] [ -1]
[4] + t x [-2]
[4] [-2]

alles wel tussen haakjes hoor
Het lijkt mijn dat er dan het volgende uit komt

[4-t]
[4-2t]
[4-2t]

Klopt dit of niet??

En zo ja wat gebeurd er dan als je

[2]
[6]
[ 5]
er van aftrekt??

Alvaste bedankt!!

[mathfreak]

Gemakshalve schrijf ik de parametervoorstelling van de lijn even als
(x,y,z)=(4-t,4-2*t,4-2*t)=(4,4,4)+t(1,2,2) waarbij (4,4,4) de steunvector van de lijn voorstelt en (1,2,2) de richtingsvector van de lijn voorstelt, waarbij het is toegestaan om de richtingsvector door vermenigvuldiging met een getal (in dit geval -1) te vereenvoudigen. Trekken we hiervan de vector (2,6,5) af, dan krijgen we een lijn met vectorvoorstelling
(x,y,z)=(4-2,4-6,4-5)+t(1,2,2)=(2,-2,-1)+t(1,2,2).

[jbtq]

Door de richting vector x,y,z -1,-2,-1 te vermedigvuldigen met -1 kan je van die richtingvector een positief richtingsvector maken. Ik snap dat je het kan vermedigvulidgen, maar ik vraag me af of je dan niet een andere richting vector krijgt van een ander lijn. En mag je die 2, 6,5 zomaar van de steun vector er afhalen.

Alvast bedankt voor het beantwoorden [ heb een hekel aan ruimtelijke dingen]

[wyner]

Zo netjes als mathfreak kan ik niet antwoorden, maar here goes:
Tekenverandering van de richtingsvector resulteert niet in een andere lijn (tenzij je de lijn wilde met t alleen positief). Je verandert dan ook gewoon tegelijk het teken van t als je een specifieke punt op de lijn zoekt.

En je mag gerust gewoon (2,6,5) van de steunvector aftrekken; je zou hem ook van de richtingsvector kunnen aftrekken, maar aangezien deze vector geen functie van t is, zal het zo er netter uitzien.

Dus je hebt: (x,y,z) = (4,4,4) + t (-1,-2,-2) - (2,6,5).
Dit is hetzelfde als: (x,y,z) = (4,4,4) - (2,6,5) + T (1,2,2), met T = -t.
(Commutativiteit van optellen wordt hier gebruikt, toch?)

[Tampert]

jbtq schreef:
Door de richting vector x,y,z -1,-2,-1 te vermedigvuldigen met -1 kan je van die richtingvector een positief richtingsvector maken. Ik snap dat je het kan vermedigvulidgen, maar ik vraag me af of je dan niet een andere richting vector krijgt van een ander lijn. En mag je die 2, 6,5 zomaar van de steun vector er afhalen.

Alvast bedankt voor het beantwoorden [ heb een hekel aan ruimtelijke dingen]

dan heb je inderdaad even dat stukje ruimtelijk inzicht nodig ... als je een vector met een getal (scalar) vermenigvuldigt wordt die vector alleen maar langer... (of korter natuurlijk). De ichting blijft hetzelfde... het is net als een schuifmaat die je uitschuift. roichting blijft hetzelfde maar de lengte verandert.

wyner schreef:

Dus je hebt: (x,y,z) = (4,4,4) + t (-1,-2,-2) - (2,6,5).
Dit is hetzelfde als: (x,y,z) = (4,4,4) - (2,6,5) + T (1,2,2), met T = -t.
(Commutativiteit van optellen wordt hier gebruikt, toch?)

Dit is de idd de commutatieve eigenschap.

[mathfreak]

Pol[niet ingelogd] schreef:

Dit is de idd de commutatieve eigenschap.

Hier sluit ik me bij aan. (x,y,z) = (4,4,4) + t (-1,-2,-2) - (2,6,5)
= (4,4,4) + T (1,2,2)- (2,6,5) (met T = -t), en verwisselen van T (1,2,2) en - (2,6,5) levert dan inderdaad
(x,y,z) = (4,4,4) - (2,6,5) + T (1,2,2), waarmee het gebruik van de commutatieve eigenschap is aangetoond.

[jbtq]

Tja.....zal ik toch maar even de vraag hier neer zetten waar dit alles om gaat??? Misschien zo handig....

Oke,
Ten opzichte van een orthonormaal assenstelsel Oxyz zijn de punten A=[2,6,5] en B=[1,4,3] en P= [ 4,4,4] gegeven.

Een lijn L gaat door P en is evenwijdig met AB. Q ligt op die zelfde lijn L en [AQ]= 3. Bereken de coordinaten van Q

[ vraag me af wie die dingen verzint, maar goed... ]

Maar goed ik ben dus eerste begonnen met het maken van een para voorstelling van L
De richtings vector is dus AB En steun vector is OP
Richting vector word dan OB-OA= x,y,z= [1,4,3]-[2,6,5]= [-1,-2,-2]
Steun vector is dan x,y,z = [4,4,4]
Dus alles word bij elkaar een para voorstelling van x,y,z= [4,4,4]+T*[-1,-2,-2]


OQ=L
OQ-OA=AQ

x,y,z=[4,4,4]+T*[-1,-2,-2] -[2,6,5]

Nou dan gaan we verder op de manier zoals hier is uitgelegd
[4,4,4) - (2,6,5) + T (1,2,2)
Komt uit
[-2,2,1]+t [1,2,2]

Dan word de paravoorstelling
-2+T
2+2T
2T

Klopt dat dan of niet??

Dan zal je volgens mijn de volgende berekingen er na moeten voeren voor het antwoord

[AQ]2=[-2+t]2+[2+2T]2+[2T]2

Aq is 3
9= [-2+t]2+[2+2T]2+[2T]2
dan t uitrekenen en dan dat in vullen voor de de T van de paravoorstelling van welke???

En toen schoot mijn rumtelijk inzicht te kort

[mathfreak]

Ga uit van de parametervoorstelling (x,y,z)=(2,-2,-1)+t(1,2,2) die ik in mijn eerste reply afleidde. Schrijf dit als (x,y,z)=(2+t,--2+2*t,-1+2*t) en vat dit op als de gevraagde vector AQ die de lengte 3 heeft, dan krijg je: (2+t)^2+(-2+2*t)^2+(-1+2*t)^2=9. Uitwerken levert:
4+4*t+t^2+4-8*t+4*t^2+1-4*t+4*t^2=9 ofwel 9*t^2-8*t+9=9, dus 9*t^2-8*t=0, dus 9*t(t-8/9)=0, dus 9*t=0 of t-8/9=0, dus t=0 of t=8/9. Er geldt: OQ=(4,4,4)+t(1,2,2), zoals ik in mijn eerste reply al aangaf, dus je ziet dat er voor Q 2 mogelijkheden zijn, namelijk het punt (4,4,4) voor t=0 en het punt (4 8/9,5 7/9,5 7/9) voor t=8/9.

[jbtq]

Hehe...nu snap ik het
Ik heb nog 1 vraageje [ echt de laats eover dit nogal leuke onderwerp ] hoe kan je de afstand bereken tussen
D=[ A,L]

Ik dacht aan het feit dat je eerst een punt op de lijn l benoemt bijvoorbeeld Z waarbij AZ de korste afstand is
L [ dat is die lijn dus]

L=Q

L heeft een paravoorstelling van 4-t,4-2t,4-2t x,y,z
en a van 2,6,5
De lijn AQ staat loodrecht op L
Dus AQ-L=0
AQ= 0A-OQ
Dus is dus hetzelfde als de vorige keer dus daar komt ...uit
2+T,-2+2T,-1+2T



Dat trek je weer van die andere vector af 2+T,-2+2T,-1+2T ---4-t,4-2t,4-2t

uit mijn berekening komt daar -4+24T-10T^2 uit, maar dat klopt niet, want dan kan t twee waarde hebben.

Afin, ik hoop dat iemand van jullie nog tijd heeft om het te beantwoorden want dat helpt wel goed,want tja...vectoren liggen mijn duidelijk niet.

[mathfreak]

Om de afstand van A(2,6,5) tot l:(x,y,z)=(4,4,4)+t(1,2,2) te bepalen ga je als volgt te werk: neem een willekeurig punt P op l. Dit geeft:
P=(4+t,4+2*t,4+2*t). Bepaal nu de vector AP=(2+t,-2+2*t,-1+2*t). AP staat loodrecht op l, dus het inwendig produkt van AP en de richtingsvector (1,2,2) is nul, dus (2+t)*1+(-2+2*t)*2+(-1+2*t)*2
=2-4-2+t-4*t+4*t=-4+t=0, dus t=4. Dit geeft voor AP de vector (6,10,7) met lengte sqrt(36+100+49)=sqrt(185), waarmee de afstand van A tot l is berekend.

[jbtq]

aha nu snap ik het
Oke mathfreak erg bedankt voor de uitleg !!!