[WI] Logaritmische functies en het getal e

[Porcelain]

Ten eerste, hoe vergelijk je:
lnx+ln(x+2)=1

Ten tweede, hoe differentieer je:
f(x) = 2e^2x + 5/x
Mijn boek zegt dat als f(x)=g^x dan is f'(x)=Cg * g^x, en daaruit zou toch moeten volgen dat de afgeleide van bovenstaande functie iets van f(x) = 2e^2x * 2 + 5/x^2 moet zijn, of 4xe^x * 2 + 5/x^2, maar dat is dus niet zo. Waarom?

Porcelain schreef op 12-06-2005 @ 12:36 :
Ten eerste, hoe vergelijk je:
lnx+ln(x+2)=1

ln x = 1 - ln(x+2)
e^{ln x} = e^1-ln(x+2)
x = e/(x+2)
x(x+2) = e
x² + 2x - e = 0
Verder met ABC-formule.

Ten tweede, hoe differentieer je:
f(x) = 2e^2x + 5/x
Mijn boek zegt dat als f(x)=g^x dan is f'(x)=Cg * g^x, en daaruit zou toch moeten volgen dat de afgeleide van bovenstaande functie iets van f(x) = 2e^2x * 2 + 5/x^2 moet zijn, of 4xe^x * 2 + 5/x^2, maar dat is dus niet zo. Waarom?

f'(x) = 4e^2x - 5/x²

[Porcelain]

f'(x) = 4e2x - 5/x²

Dat zegt mijn antwoordeboek ook. Ik vroeg eigenlijk meer:

Mijn boek zegt dat als f(x)=g^x dan is f'(x)=Cg * g^x, en daaruit zou toch moeten volgen dat de afgeleide van bovenstaande functie iets van f(x) = 2e^2x * 2 + 5/x^2 moet zijn, of 4xe^x * 2 + 5/x^2, maar dat is dus niet zo. Waarom?

Maar bedankt voor die bovenste vergelijking!

f(x) = 2e^2x + 5/x

Stel f(x) = g(x) + h(x), dan geldt f'(x) = g'(x) + h'(x) met g(x) = 2e^2x en h(x) = 5/x = 5x^-1

g(x):
Stel u = 2x, dus du/dx = 2
Dan geldt: dg/dx = dg/du * du/dx = 2* dg/du
g(u) = 2e^u

Je weet: de afgeleide van de e-macht is de e-macht zelf.

g'(x) = 2e^u * 2 = 2e^2x * 2

h(x):
Je weet dat de afgeleide van xⁿ naar x gelijk is aan nx^x-1

h'(x) = 5x^-1-1 * -1 = -5x^-2 = -5/x²

[Porcelain]

Og ik zag weer eens wat over het hoofd. Dankje voor de moeite.