[lin algebra] eigenvectoren

Ik heb een aantal college gemist en nu is mijn boek niet helemaal duidelijk hoe een eigenvector wordt berekend.
Gegeven wordt de matrix A:

1   6
5   2

Bereken de eigenvectoren.

Nu heb ik dus begrepen dat je de eigenwaarde moet uitrekenen (-4 en 7).
En dan moet ik de echelonvorm van A-7I=0 en A+4I=0 uitrekenen.
Nu heb ik dus even bij eigenwaarde 7 even gedaan en daar komt dan uit:

1  -1  0
0   0  0

Tot hiertoe volg ik het dus allemaal, maar nu komt het boek in 1x met de conclusie dat de eigenvector

1
1

is...

[TD]

Uit je middelste matrix haal je, terug naar vergelijkingen omgezet:
x-y = 0 <=> x = y

Stel y = t (ik zeg maar wat...) en je vindt: x = t

Eigenvector: (t,t) = t(1,1) (vermits een eigenvector op een evenredigheidsconstante na bepaald is).

(1,1) klopt dus

De 2e zal overigens (-6,5) zijn (of een veelvoud daarvan natuurlijk)

[Keith]

voor eigenwaarde 7:

-6  6  0
 5 -5  0

dit is dus zoals je zei (ja moest het zelf ook even checken)

-1  1  0
 0  0  0

dit geeft dus: x₁ = x₂ en x₂ = x₂. In de tweede colom staat geen pivot (weet ook niet wat dat in NL is) en dus is dit een free variable (idem) en dus weet je ook niks meer over deze variabele dan dat hij gelijk is aan zichzelf.

nu ga je de eigenvector:

x1
x2

opschrijven als:

x2
x2

(immers: x₁ = x₂)
oftewel:

x2 | 1 |
  | 1 |

TD schreef op 08-06-2005 @ 23:40 :
Uit je middelste matrix haal je, terug naar vergelijkingen omgezet:
x-y = 0 <=> x = y

Stel y = t (ik zeg maar wat...) en je vindt: x = t

Eigenvector: (t,t) = t(1,1) (vermits een eigenvector op een evenredigheidsconstante na bepaald is).

(1,1) klopt dus

De 2e zal overigens (-6,5) zijn (of een veelvoud daarvan natuurlijk)

Dat eerste volg ik niet.

Die 2e eigenvector is het toeval dat die precies voldoet aan de eerste kolom van de matrix A-7I?

Keith schreef op 08-06-2005 @ 23:44 :
voor eigenwaarde 7:

-6  6  0
 5 -5  0

dit is dus zoals je zei (ja moest het zelf ook even checken)

-1  1  0
 0  0  0

dit geeft dus: x₁ = x₂ en x₂ = x₂. In de tweede colom staat geen pivot (weet ook niet wat dat in NL is) en dus is dit een free variable (idem) en dus weet je ook niks meer over deze variabele dan dat hij gelijk is aan zichzelf.

nu ga je de eigenvector:

x1
x2

opschrijven als:

x2
x2

(immers: x₁ = x₂)
oftewel:

x2 | 1 |
  | 1 |

helder, bedankt

[Keith]

Bij de andere krijg ik:

5 6 0
5 6 0

5 6 0
0 0 0

dus: x₁ = -6/5 x₂ en x₂ = x₂

dus:

x1 |-6/5|
  | 1  

x1 |-6|
  | 5|

[TD]

Lucky Luciano schreef op 08-06-2005 @ 23:49 :
Dat eerste volg ik niet.

Wat volgje je niet?

Om een eigenvector te berekenen los je het stelsel (A-LI)X=0 op, met L eigenwaarde. Je vindt hier een stelsel met 2 lineair afhankelijke vgl en houdt "1 -1 0" over na Gauss-eliminatie. (+ één overbodige rij)
Dit betekent, want je komt van een stelsel vergelijkingen, x - y = 0.

Eén vergelijking, 2 onbekenden -> 1 kiezen en de andere in functie daarvan. Elke oplossing van de vorm k(1,1) (met k in R) voldoet hieraan.

Nog even een vraagje.

Hoe krijg je een eigenvector bij de volgende matrix?

-2  1  0
-1  1  1
 0  1  2

-2  0 -2
 0  1  2 
 0  0  0

En nu?

[Keith]

Hoe krijg je een eigenvector bij de volgende matrix?

-2  1  0
-1  1  1
 0  1  2
 
    -2-L 1   0
det -1   1-L 1   = 0
     0   1   2-L

r3(-1) + r1
     
    -2-L 0   -2-L
det -1   1-L 1    = 0
     0   1   2-L
     
nu deel je heel rij 1 door -2-L

             1 0   1
(-2-L) det  -1 1-L 1   = 0
             0 1   2-L

r1 + r2
            1 0   1
(-2-L) det  0 1-L 2
            0 1   2-L
            
odmat je nu in de linker colom die twee nullen hebt 
kan je dit gelijk stellen aan:

            1 0   1
(-2-L) det  0 1-L 2
            0 1   2-L
                   
(-2-L) (-1)^(1+1) det    1-L 2
                         1   2-L
                         
de (1+1) is de een van de eerste rij 
en de een van de eerste colom

(-2-L)((1-L)(2-L)-2) = 0
(-2-L)(L2-3L+2-2)=0
(-2-L)(L2-3L)=0
(-2-L)L(L-3)=0
L=-2 L=0 en L=3

De eigenvectoren uitrekenen kan je dan gewoon met (A-LI)x =0 vinden, niet veel anders dan bij 2x2.

Ik weet niet zeker of dit klopt, heb je het jusite antwoord?

[Keith]

Ik zie net op je profiel dat je ook i nDelft woont, zit je hier ook op de Uni, zo ja, welke studie en welk jaar? ben wel benieued.

[TD]

Ik vind andere eigenwaarden, helaas minder eenvoudige:



Bij de 2e opgave valt het gelukkig beter mee:



Lukt het vinden van de eigenvectoren dan wel?

@ Keith: Bij r3(-1) + r1 geeft (2-l) (op plaats (3,3)) een (l-2) en geen -2-l.

o sorry, ik heb de eigenwaardes er al afgehaald en de berekeningen uitgevoerd, ik krijg dus als laatste matrix
-2 0 -2
0 1 2
0 0 0
En hiervan moet ik de eigenwaarde schrijven, maar het antwoord geeft hier maar 1 vectorvergelijking.

Keith schreef op 19-06-2005 @ 11:32 :
Ik zie net op je profiel dat je ook i nDelft woont, zit je hier ook op de Uni, zo ja, welke studie en welk jaar? ben wel benieued.

WB, 1ste jaar

[Keith]

Het klopt toch wel dat als er een bepaalde term in iedere entry op een rij voorkomt dat je die eruit mag delen en ervoor gooien? Alleen heb ik heir idd een nogal stomme fout gemaakt.

[Keith]

Ik wordt een beetje gek van mn eigen fouten soms, maar ik heb het nog een keer gedaan (op papier, stuk fijner) en er komt hetzelfde uit als TD zei.

Heb jij ook binnenkort tentamen dan, ik morgen (hopelijk maak ik dan minder fouten). Overigens, ik doe LR.

[TD]

Lucky Luciano schreef op 19-06-2005 @ 14:03 :
o sorry, ik heb de eigenwaardes er al afgehaald en de berekeningen uitgevoerd, ik krijg dus als laatste matrix
-2 0 -2
0 1 2
0 0 0
En hiervan moet ik de eigenwaarde schrijven, maar het antwoord geeft hier maar 1 vectorvergelijking.

Hmm, zeg dat eerder
Nee grapje, je vroeg natuurlijk naar de eigenvector maar dat was me niet heel duidelijk. Ik vond het al vervelende eigenwaarden

Als dit de matrix is die je bekomt nadat je de eigenwaarde al vd hoofddiagonaal hebt afgetrokken, dan vind je 2 eigenvectoren:
x = -z => (-1,0,1)
y = -2z => (0,-2,1)

Dit zou best kunnen als je bvb maar 2 eigenwaarden vond voor de oorspronkelijke 3x3 matrix waarvan er ééntje algebraïsche multipliciteit 2 had. Hier blijkt dan dat de meetkundige multipliciteit ook 2 is, dus de matrix is mogelijk nog diagonaliseerbaar.
Die andere matrix die je gaf (hier had je een andere eigenwaarde van afgetrokken?) geeft trouwens dezelfde eigenvectoren...
Als je denkt dat dit niet klopt, geef je dan even de oorspronkelijke matrix?

@Keith: op papier is inderdaad overzichtelijker
Je mag inderdaad een factor buitenbrengen (uit een hele rij of kolom)

TD schreef op 19-06-2005 @ 14:40 :
Hmm, zeg dat eerder
Nee grapje, je vroeg natuurlijk naar de eigenvector maar dat was me niet heel duidelijk. Ik vond het al vervelende eigenwaarden

Als dit de matrix is die je bekomt nadat je de eigenwaarde al vd hoofddiagonaal hebt afgetrokken, dan vind je 2 eigenvectoren:
x = -z => (-1,0,1)
y = -2z => (0,-2,1)

Dit zou best kunnen als je bvb maar 2 eigenwaarden vond voor de oorspronkelijke 3x3 matrix waarvan er ééntje algebraïsche multipliciteit 2 had. Hier blijkt dan dat de meetkundige multipliciteit ook 2 is, dus de matrix is mogelijk nog diagonaliseerbaar.
Die andere matrix die je gaf (hier had je een andere eigenwaarde van afgetrokken?) geeft trouwens dezelfde eigenvectoren...
Als je denkt dat dit niet klopt, geef je dan even de oorspronkelijke matrix?

@Keith: op papier is inderdaad overzichtelijker
Je mag inderdaad een factor buitenbrengen (uit een hele rij of kolom)

Dat waren namelijk dezelfde matrices
Alleen die 2e waren weer wat operaties verder

[TD]

Ofwel ben ik niet goed wakker ofwel ben jij heel onduidelijk, in beide gevallen doe ik hier telkens dubbel werk

Anyway, klopt het een beetje met wat je hoort uit te komen of...? Je vindt hier dus, zoals het er nu naar uitziet, voor deze eigenwaarde 2 verschillende eigenvectoren, en dus een 2-dimensionale eigenruimte.

Klopt dacht ik
Ik heb nog een vraag:
Alléén de eigenvectoren van
111
000
000


Echt stomzinnig dat je overal die eigenvector moet uitrekenen

[TD]

Ook deze heeft 2 eigenvectoren, je vindt immers 2 nulle rijen na eliminatie. Vergeet niet dat je eigenlijk een stelsel bent aan het uitrekenen, dat overigens gelijk moest zijn aan 0 - je vindt hier dus:

x+y+z = 0

Dit is één vergelijking met 3 onbekenden => '2 te kiezen'.
Stel y = t en z = s:

x + s + t = 0 <=> x = - s - t

Neem s = 1 en t = 0, dan is x -1 -> (-1,1,0)
Neem s = 0 en t = 1, dan is x -1 -> (-1,0,1)

Zoals altijd zijn de eigenvectoren weer bepaald op een evenredigheidsfector na.

de uitwerking geeft:
1
-1
0

en

1
1
-2

[TD]

Die eerste is equivalent met mijn eerste, evenredigheid -1.

Die tweede is ook een lineaire combinatie van 'mijn eigenvectoren':
(1,1,-2) = 1 * (-1,1,0) -2 * (-1,0,1)

In mijn uitwerking is dit s = 1 en t = -2 => (-s-t,s,t) = (1,1,-2)

[Keith]

Gebruiken jullie toevallig ook het bek van C. Lay, als je dan even verteld welke opgave het is, kan ik ook even kijken.

[TD]

Ik gebruik geen boek... Misschien Lucky Luciano

Keith schreef op 19-06-2005 @ 16:30 :
Gebruiken jullie toevallig ook het bek van C. Lay, als je dan even verteld welke opgave het is, kan ik ook even kijken.

Zijn oude tentamens Maar dat boek gebruiken wij idd ook.

TD schreef op 19-06-2005 @ 16:27 :
Die eerste is equivalent met mijn eerste, evenredigheid -1.

Die tweede is ook een lineaire combinatie van 'mijn eigenvectoren':
(1,1,-2) = 1 * (-1,1,0) -2 * (-1,0,1)

In mijn uitwerking is dit s = 1 en t = -2 => (-s-t,s,t) = (1,1,-2)

ok, dus je mag ook bij een eigenvector [1,-1] of [-1,1] hebben?

[TD]

Ja hoor, eigenvectoren zijn op een evenredigheidsfactor na bepaald.

Dus eigenlijk k(1,-1) met k in R°, dus evt ook k = -1

Dit volg direct uit het feit dat je van een stelsel komt (vergelijkingen dus).

bvb: x = y

Hieruit halen we als eigenvector gewoonlijk (1,1), maar (-35/7,-35/7) voldoet natuurlijk net zo goed.

als ze dat nu gewoon ergens neerzetten

[TD]

Ach, even zelf opschrijven

We noemen v een eigenvector van een lineaire afbeelding als de vector wordt afgebeeld op een veelvoud van zichzelf, de evenredigheidsfactor noemen we de bijbehorende eigenwaarde.

Oftewel:
v eigenvector van f <=> f(v) = kv (k eigenwaarde)

Ik neem nu een scalaire parameter p.
Vermits f lineair is geldt: f(px) = pf(x). Als die x nu een eigenvector is, geldt dus nog steeds: f(px) = pf(x) = pkx (k eigenwaarde).

Je mag dus met een evenredigheidsfactor p vermenigvuldigen.

[Keith]

Tentamen gehad, ging best goed vond ik zelf .

[TD]

Leuk om te horen

Ik heb dit semester geen lineaire algebra meer gehad, de volledige cursus zat in het eerste semester, was gelukkig wel geslaagd toen.

[Keith]

ben wel heel benieuwd naar wat Lucky ervan heeft gemaakt, als hij het neit heeft gehaald eis ik zijn forumbaaspositie lekker in.