complexe getallen

[zoemzoem]

Ik heb de volgende vergelijking die ik op moet lossen: x^2 + 2x + 2 = 0
Ik heb de ABC-formule gebruikt, dan krijg ik:
x = -1 + 1/2 wortel (-4) of x = -1 - 1/2 wortel (-4).
Is wortel (-4) dan gelijk aan 2i?

[pino123]

discriminant is kleiner dan 0, dus krijg je toch geen oplossingen/snijpunten met de x-as?

[mathfreak]

zoemzoem schreef op 10-09-2005 @ 10:27 :
Ik heb de volgende vergelijking die ik op moet lossen: x^2 + 2x + 2 = 0
Ik heb de ABC-formule gebruikt, dan krijg ik:
x = -1 + 1/2 wortel (-4) of x = -1 - 1/2 wortel (-4).
Is wortel (-4) dan gelijk aan 2i?

Correct opgemerkt. Er geldt namelijk: i²=-1, dus sqrt(-4)=sqrt(i²*4)=i*sqrt(4)=2*i. Je vindt dan de oplossingen x=-1-i of x=-1+i.
Overigens kun je de vergelijking ook oplossen door middel van kwadraatafsplitsing. Er geldt namelijk: x²+2*x+2=x²+2*x+1+1=(x+1)²+1. Dit geeft: (x+1)²=-1. Met i²=-1 vind je dan: (x+1)²=i², dus x+1=i of x+1=-i, dus x=-1+i of x=-1-i.

@pino123: Als je je beperkt tot de verzameling reële getallen heeft a*x²+b*x+c=0 voor D<0 inderdaad geen oplossingen, maar als je met complexe getallen werkt, dus met getallen van de vorm a+b*i met a en b reëel en i²=-1 heeft de vergelijking in dat geval wel 2 oplossingen.

[Supersuri]

pino123 schreef op 10-09-2005 @ 10:58 :
discriminant is kleiner dan 0, dus krijg je toch geen oplossingen/snijpunten met de x-as?

Klopt pino, je krijgt geen reële oplossingen, daarom vraag hij na een complexe oplossing met i (imaginair getal dat wortel(-1) is.

Strikt gesproken is een wortel van een negatief getal niet gedefinieerd. Wat wel is gedefinieerd, is dat i² = -1.

Maar ik ben natuurkundige en dus trek ik me van de uitspraak sqrt(-4) = 2i niet zo veel aan.

Edit: wat trouwens wel handig is om te weten, is dat als je een complexe oplossing hebt gevonden voor een polynomiale vergelijking met reële coëfficiënten (zoals je er hier één hebt) de complex geconjugeerde ook altijd een oplossing is.