splitsen in partieelbreuken

[bulbanos]

ik moet (2x²+4/3x+4)/((1+x²/4)(1+x/3)) opsplitsen

is er een andere mogelijkheid dan met stelsels werken? wt het is niet eenvoudig eigenlijk.

[TD]

Nadat je de breuken wat hebt vereenvoudigd ziet het er niet zo lelijk uit. In plaats van het meest algemene stelsel te vormen kan je het rekenwerk wat verlichten door handige keuzes van x, het moet immers gelden voor alle x dus kies waarden zodanig dat bepaalde factoren 0 worden.

[mathfreak]

bulbanos schreef op 11-01-2006 @ 20:19 :
ik moet (2x²+4/3x+4)/((1+x²/4)(1+x/3)) opsplitsen

is er een andere mogelijkheid dan met stelsels werken? wt het is niet eenvoudig eigenlijk.

Merk om te beginnen op dat je deze uitdrukking kunt schrijven als 12[(2*x²+4)/(3*x+4)]/[(4+x²)(x+3)]. Stel (2*x²+4)/(3*x+4)=a*x+b+c/(3*x+4), dan geldt: (3*x+4)(a*x+b)+c=3*a*x²+(4*a+3*b)x+4*b+c=2*x²+4, dus a=2/3, b=-4/3*a=-8/9 en c=4 8/9,
dus (2*x²+4)/(3*x+4)=2/3*x-8/9+4 8/9*1/(3*x+4), dus 12[(2*x²+4)/(3*x+4)]/[(4+x²)(x+3)]
=(8*x-10 2/3+58 2/3*1/(3*x+4))/[(4+x²)(x+3)]
=(24*x-32+176/(3*x+4))/[3(4+x²)(x+3)]. De term 24*x-32/[3(4+x²)(x+3)] splits je in de vorm (p*x+q)/(4+x²)+1/3*r/(x+3) en 176/(3*x+4))/[3(4+x²)(x+3)] splits je in de vorm s/(3*x+4)+(t*x+u)/(4+x²)+1/3*v/(x+3).

[bulbanos]

aha thx!

nog eentje?

1/(1+4z^(-1)+4z^(-2)) of wel dus 1/(1+2z^(-1))²

kan dit nu opgesplitst worden in

A/(1+2z^(-1)) + B/(1+2z^(-1))² of niet?

[TD]

Ik zou die negatieve machten wegwerken, de opgave is dan z²/(z+2)². De graad van de teller is nog gelijk aan die van de noemer dus kan je de deling één keer uitvoeren, daarna splitsen.

[bulbanos]

ja maar owv de aard van de opgave (inverse z transformatie) moet het in 1/z blijven staan. Neem z^(-1)=x en antwoord dan op mijn vraag

[mathfreak]

bulbanos schreef op 13-01-2006 @ 11:53 :
aha thx!

nog eentje?

1/(1+4z^(-1)+4z^(-2)) of wel dus 1/(1+2z^(-1))²

kan dit nu opgesplitst worden in

A/(1+2z^(-1)) + B/(1+2z^(-1))² of niet?

Stel x=1/z, dan gaat 1/(1+4/z+4/z²) over in 1/(1+4*x+4*x²)=1/(2*x+1)². Dit kun je opsplitsen als A/(2*x+1)+B/(2*x+1)². Jouw opsplitsing is dus juist.