[wi] complexe shit

[jodekaas]

hier kom ik niet uit...

toon aan dat voor elk tweetal getallen z1 en z2 in C geldt dat
|z1+z2| >= | |z1|- |z2| |

alvast bedankt

edit: ugh deze ook.........
|z1+z2| =< |z1| +|z2|

Waar blijf je steken/hoe ver ben je zelf gekomen?

[TD]

Bedoel je bij die eerste misschien |z1-z2|?

In elk geval, de driehoeksongelijkheid (en die eerste, die er uit afgeleid kan worden) geldt voor vectoren in het algemeen, dus ook voor complexe getallen.

Ik noem ze even a en b, dat werkt wat makkelijker.
Er geldt steeds: -|a| ≤ a ≤ |a| en -|b| ≤ b ≤ |b|
Optellen: -(|a|+|b|) ≤ a+b ≤ |a|+|b| (*)

Je kan nu gebruiken dat |x|<y <=> -y < x < y
Neem hierin x = a+b en y = |a| + |b| in (*) en we krijgen:
|a+b| ≤ |a|+|b|

Je kan het ook doen door te kwadrateren en dan gebruik te maken van de ongelijkheid van Cauchy-Schwartz.

De eerste volgt dan uit degene die we net hebben aangetoond, als je inderdaad bedoelt wat ik dacht...

[jodekaas]

TD schreef op 20-01-2006 @ 20:09 :
Bedoel je bij die eerste misschien |z1-z2|?

hmm het staat hier toch echt een plus.

nou dit is hoe ver ik kom.
als z1=a+ib en z2=x+iy dan heb ik
|z1+z2|^2= (a+x)^2+(b+y)^2=a^2+x^2+b^2+y^2+2(ax+by)
en voor |z1|^2+|z2|^2=a^2+x^2+b^2+y^2

maar die eerste heeft een term 2(ax+by) meer dus snap ik niet hoe het dan kleiner/gelijk moet zijn....

bij de eerste heb ik helemaal geen flauw idee...
ik geloof trouwens niet dat je nu al Cauchy-Schwartz moet gebruiken aangezien dat pas veel verder in het dictaat staat.

[TD]

Zoals ik al zei is Cauchy-Schwartz ook een mogelijkheid, maar die heb ik toch niet gebruikt? Snap je de afleiding hierboven niet?

Edit:


Hieruit volgt dan direct dat |z₁+z₂| ≥ |z₁| + |z₂|

Uiteraard geldt dan ook: |z₁+z₂| ≥ |z₁| - |z₂|
Maar 1 en 2 kunnen gewisseld: |z₁+z₂| ≥ |z₂| - |z₁|

Maar rekening houdend met de definitie van de absolute waarde kan je deze twee samenstellen tot: |z₁+z₂| ≥ | |z₁| - |z₂| |

[jodekaas]

TD schreef op 20-01-2006 @ 21:03 :
Zoals ik al zei is Cauchy-Schwartz ook een mogelijkheid, maar die heb ik toch niet gebruikt? Snap je de afleiding hierboven niet?

Edit:
[afbeelding]

Hieruit volgt dan direct dat |z₁+z₂| ≥ |z₁| + |z₂|

Uiteraard geldt dan ook: |z₁+z₂| ≥ |z₁| - |z₂|
Maar 1 en 2 kunnen gewisseld: |z₁+z₂| ≥ |z₂| - |z₁|

Maar rekening houdend met de definitie van de absolute waarde kan je deze twee samenstellen tot: |z₁+z₂| ≥ | |z₁| - |z₂| |

hmm die eerste begrijp ik nu wel, maar bij de tweede heb jij dus groter/gelijk terwijl ik hier heb staan dat het kleiner/gelijk moet zijn... een fout dus in mijn dictaat?

ieder geval bedankt voor de moeite!