Gedrag rond exponetiele groei.

[iamcj]

Even als voorbeeld de wereldeconomie. Stel deze is de afgelopen 20 jaar exponentieel met 2% per jaar gegroeid.

Nu is dat met horten en stoten gegaan. Het ene jaar -2% het andere jaar +4%.

Mijn gevoel zegt dat meer dan 50% van de wereldeconomiekoers boven de exponentiele koers ligt om het stijgend potentieel van 2% per jaar te bewerkstelligen, of is dit 50/50.

Als ik gelijk heb, hoe kan ik dit aantonen?

iamcj schreef op 24-10-2006 @ 17:10 :


Mijn gevoel zegt dat meer dan 50% van de wereldeconomiekoers boven de exponentiele koers ligt om het stijgend potentieel van 2% per jaar te bewerkstelligen, of is dit 50/50.

Dit stuk is mij niet geheel duidelijk, wat bedoel je precies?

[iamcj]

Experiment 1.
Een willekeurige koers start in jaar 1 op 100. Op jaar 10 staat hij weer op 100. Het jaarrendement bedraagt 0%

Stel je doet dit proefje 100 x

Mijn verwachting is dan dat 50% van de koersen boven de 100 ligt en 50% daaronder

Experiment 2.
Een willekeurige koers start in jaar 1 op 100. Op jaar 10 staat hij op 200. Het jaarrendement bedraagt 8%

Stel je doet dit proefje 100 x.

Mijn verwachting is dan dat meer dan 50% van de koersen boven de exponentiele lijn ligt en en minder dan 50% daaronder.

Vraag:
Is dat zo en waarom, of is het ook 50/50?

Alvast bedankt!

Wat bedoel je met proefje, neem je een steekproef tussendoor? Of zijn de rendementen gemiddeldes en meet je na afloop?

[dutch gamer]

Ik ga er maar vanuit dat je met "de exponentiele lijn" een functie als y(t) = 100 * 2^{( t / 10)} bedoelt, die een exponentiele functie voorstelt die door (0 , 100) en (10 , 200) gaat (t = tijd in jaren).

Als je een jaarrendement hebt van 8 procent, heb je dus een functie als y(t) = 100 * 1,08^t. Vul je hier t = 10 in, dan krijg je ongeveer 216. Dit ligt boven die 200 dus zal inderdaad meer dan de helft van de koersen boven de exponentiele lijn liggen.


Dit is een van de 38484 manieren waarop je deze opdracht kan interpreteren, dus iets meer duidelijkheid graag .

Edit: zie net dat jij begint in jaar 1 en niet in 0, maar dan volgt een zelfde soort berekening natuurlijk...

[WelVrolijk]

iamcj schreef op 24-10-2006 @ 17:10 :
Mijn gevoel zegt dat meer dan 50% van de wereldeconomiekoers boven de exponentiele koers ligt om het stijgend potentieel van 2% per jaar te bewerkstelligen, of is dit 50/50.

Bij exponentiele groei is sprake van een groeifactor (bijvoorbeeld per jaar).

Blijkbaar wil jij die groeifactor een beetje laten varieren rondom een gemiddelde.

In dat geval hangt het er helemaal van af op welke manier je die groeifactor laat varieren.

Stal bijvoorbeeld even (om het rekenwerk eenvoudig te houden) dat het om een periode van twee jaar gaat.

Als je een keer een groeifactor g.a hebt, en een keer een groeifactor g/a, dan is het geheel na twee jaar precies g² gegroeid.
Als de groeifactor op zo'n manier "willekeurig varieert rondom het gemiddelde", dan zal de meetwaarde in de regel even vaak *onder* de gemiddelde groei liggen als *boven* de gemiddelde groei.

Als je een keer een groeifactor g+x hebt, en een keer een groeifactor g-x, dan is het geheel na twee jaar een factor g²-x² gegroeid.
Als de groeifactor op zo'n manier "willekeurig varieert rondom het gemiddelde", dan zal de meetwaarde in de regel minder vaak *onder* de gemiddelde groei liggen als *boven* de gemiddelde groei.

Het hangt dus blijkbaar op een of andere manier af van de verdeling.

[iamcj]

Phoe,

Ik zal het nog een keer proberen.

Het gaat erom, je hebt een willekeurige koers, stel een aandelen koers. Die bekijk je over 10 jaar. Stel die is gegroeid met 8% per jaar. In de grafiek van het aandeel kun deze 8% trend intekenen.

Een gedeelte van de grafiek zal boven de exponentiele groei liggen en een gedeelte zal er onder liggen. Echter kunnen ook alle koersen erbven of alle koersen eronder liggen. De trend van 8% is alleen afhankelijk van het start en eindpunt.

Dat boven en onder de exponentiele groei is dat theoretisch 50/50 verdeeld of ligt doordat het geheel stijgt met 8% meer dan 50% van de koersen boven de exponentiele trend?

Je gevoel heeft gelijk. Ik heb het ff nagerekend, soort van, met een voorbeeldje. Hoe je het formeel zou kunnen uitrekenen zou ik niet weten - misschien moet je iets met functionaaltheorie doen. Of misschien heb je genoeg aan het feit dat een rekenkundig gemiddelde van twee waarden, x en y: (x+y)/2 altijd hoger is dan het meetkundig gemiddelde sqrt(xy). Het zijn maar hersenspinsels, maar misschien heb je er iets aan.

Ik zat meer te denken aan stochastische kansverdeling, met gemiddelde 8 en standaardafwijking 2. En dan een manier met grote aantallen (100). Maar zo goed is mijn kansrekening niet

[iamcj]

Mephostophilis schreef op 25-10-2006 @ 11:28 :
Je gevoel heeft gelijk. Ik heb het ff nagerekend, soort van, met een voorbeeldje. Hoe je het formeel zou kunnen uitrekenen zou ik niet weten - misschien moet je iets met functionaaltheorie doen. Of misschien heb je genoeg aan het feit dat een rekenkundig gemiddelde van twee waarden, x en y: (x+y)/2 altijd hoger is dan het meetkundig gemiddelde sqrt(xy). Het zijn maar hersenspinsels, maar misschien heb je er iets aan.

Als ik je goed begrijp gedraagt de koers zich evenwichtig om de rechte lijn tussen 2 punten. De exponentïële lijn, een kromme licht daaronder. Dus ligt meer dan 50% van de koersen boven de De exponentïële lijn.

Kan ik dat zo stellen, dan heb ik daar genoeg aan.

Ik moet alleen wel heel zeker van mijn zaak zijn.

P.S. is het dan zo dat de uitslagen aan het begin bij punt x lager zijn dan op het eind bij punt y omdat het een procentueel gebeuren is? De rechte tussen 2 punten is afnemende procentuele lijn.

[iamcj]

WelVrolijk schreef op 24-10-2006 @ 23:15 :

Als de groeifactor op zo'n manier "willekeurig varieert rondom het gemiddelde", dan zal de meetwaarde in de regel minder vaak *onder* de gemiddelde groei liggen als *boven* de gemiddelde groei.

Het hangt dus blijkbaar op een of andere manier af van de verdeling.

Waarom?

Ik heb inmiddels ook zelf via experimenten vastgesteld dat mijn gevoel klopte. Ik kom zelf met variable rendementen >0 op een verhouding uit van 65% boven de trend en 35% eronder.

Nu zou ik het liefst nog een simpel wiskundig bewijs hebben.

En dan ga ik ze van katoen geven.

[WelVrolijk]

iamcj schreef op 25-10-2006 @ 18:27 :
Waarom?

Ik heb inmiddels ook zelf via experimenten vastgesteld dat mijn gevoel klopte. Ik kom zelf met variable rendementen >0 op een verhouding uit van 65% boven de trend en 35% eronder.

Daarbij gebruik je dan dus steeds het soort verdeling uit mijn tweede voorbeeld.
In dat geval klopt je gevoel, omdat in dat geval de gemiddelde groei gelijk is aan de wortel uit g² - x², en dat is (zoals Mephostophilis ook al aangaf) kleiner dan de helft van (g-x) + (g+x).

Bij gebruik van het soort verdeling van mijn eerste voorbeeld zul je dan uitkomen op 50% erboven en 50% er boven.

En er zijn natuurlijk volop verdelingen te vinden met meer dan de helft er onder.

[WelVrolijk]

Anderzijds is het nog steeds niet echt duidelijk wat je precies bedoelt.


Ik ga er (net zoals zo te zien de meeste andere beantwoorders) nog steeds van uit, dat jouw vermoeden zegt dat in de meeste jaren de groeifactor groter is dan de gemiddelde groeifactor.


Maar een deel van jouw posts lijkt er meer op dat jouw vermoeden zegt dat in de meeste waarde de "tussenstand" ligt boven wat de tussenstand zou zijn bij een constante groeifactor.
Dat is natuurlijk een heel ander verhaal.
- Indien de jaren met grootste groei toevallig in het begin van de observatieperiode liggen, dan zal je vermoeden uitkomen.
- Indien de jaren met grootste groei toevallig aan het eind van de observatieperiode liggen, dan zal het tegengestelde van jouw vermoeden uitkomen.


Voordat wij beginnen aan een wiskundig bewijs, zul je om te beginnen eens moeten vertellen, wat jouw vermoeden precies is.

[iamcj]

Wat ik expirimenteel heb vastgesteld is dat als ik een "oneindig" aantal grafieken met een postief rendement bekijk en daar de exponentiele groei inteken. Dat in 65% van de grafieken meer dan 50% van de reeks boven de exponentiele groei ligt.

Ik heb een aantal maal ca. 1000 positief renderende grafieken doorgerekend en dat percentage van 60-65% komt steeds terug.

De willekeurige reeks heb ik vastgesteld door steeds een willekeurig percentage varierent van -10% tot + 10% (en ook andere) van de voorgaande koers bij de voorgaande koers op te tellen. Zo heb ik getracht een aandelenkoers te simuleren.

Wat ik wil bewijzen is dat het niet klopt om een eindkapitaal te berekenen aan de hand van een rendement per jaar op basis van aandelenkoersen (in verband met mijn pensioen.) Dit omdat naar mijn verwachting in theorie meer dan 50% van de aankoopmomenten boven de exponentiele groei zal liggen en het rendement dus per definitie lager is.

[WelVrolijk]

Ah, dat is al een stuk duidelijker.


Het effect dat je ziet wordt deels (wellicht volledig) verklaard door de manier waarop je die "willekeurige" reeks genereert.

Waarschijnlijk krijg je een zuiverder beeld wanneer je ---in plaats van steeds -10% tot +10% bij de koers op te tellen--- bij elke stap de koers vermenigvuldigt met een factor die (bijvoorbeeld) varieert van 9/10 tot 10/9.

------------------

Maar als je toch al een simulatie uitvoert, waarom praat je dan nog steeds over het *aantal* keer dat je boven of onder de exponentiele grafiek zit.
Het is dan toch veel interessanter om te kijken of je *rendement* in dat geval boven of onder het verwachte rendement ligt?

Stel bijvoorbeeld dat je 18 keer 1 Euro meer betaalt, en 2 keer 15 euro minder. Dan heb je uiteindelijk *minder* ingelegd, terwijl je bijna altijd "boven de grafiek" zat.

Als het gaat om je rendement, dan zul je je simulatie ook op die manier moeten inrichten.
(Aankoopbedragen uitrekenen en op de juiste manier optellen, dus. En vervolgens een verband leggen met het eindbedrag.)

------------------

Misschien moet je (voordat je probeert met een "bewijs" aan te komen) eerst eens wat informatie boven tafel halen over het verloop van aandelenkoersen.
Want als die zich (structureel) anders blijken te gedragen dan tijdens jouw simulatie, dan zal jouw bewijs zonder meer genegeerd worden.

Daar is echter geen haast bij;
Probeer eerst maar even de berekeningen tijdens die simulatie goed voor elkaar te krijgen.
De "juiste" manier om die aandelenkoersen "willekeurig" te laten varieren, kun je dan altijd achteraf nog inbouwen.
(Waarbij "juist" natuurlijk staat voor alles waarmee je jouw tegenpartij kunt overtuigen)

[iamcj]

Ik had een heel verhaal, maar volgens mij ben ik eruit dankzij jullie hulp.

1,0 1,0 1,0 1,0 1
1,3 1,0 1,1 1,1 2
1,7 1,0 1,3 1,3 2
2,2 1,0 1,6 1,5 3
2,8 1,0 1,9 1,7 3
3,6 1,0 2,3 2,0 4
4,6 1,0 2,8 2,3 4
6,0 1,0 3,5 2,6 5
7,7 1,0 4,4 3,0 5
10,0 1,3 5,6 3,4 6
10,0 1,7 5,8 3,9 6
10,0 2,2 6,1 4,4 7
10,0 2,8 6,4 5,1 7
10,0 3,6 6,8 5,8 8
10,0 4,6 7,3 6,7 8
10,0 6,0 8,0 7,6 9
10,0 7,7 8,9 8,7 9
10,0 10,0 10,0 10,0 10

Maak maar een grafiek van bovenstaande getallenreeksen. De eerste en 2e kolom representeren de maximale en minimale aandelenkoers over langere tijd. Deze verlopen zo raar omdat ze nooit in 1 keer tot de top kunnen stijgen. Kolom C is het gemiddelde van A en B en dus de gemiddelde aankoopkoers van de units. De lijn waar ik al zo lang van vermoed dat hij bestaat.
Kolom D geeft de exponentiele trend.
Kolom E geeft het gemiddelde.

Maar is dit ook goed?

En ik zie nog wat in mijn grafiek: het oppervlak tussen kolom A en Kolom D is veel groter dan tussen kolom B en Kolom D.

67% van de koersen ligt boven de exponentiele grens en 33% eronder om precies te zijn.

Volgens zijn in deze de extremen het beter verwerkt:

100,0 100,0 100,0 100,0 100,0
120,0 80,0 100,0 105,6 109,5
144,0 64,0 104,0 111,5 119,0
172,8 51,2 112,0 117,7 128,5
207,4 41,0 124,2 124,2 138,0
248,8 32,8 140,8 131,2 147,5
298,6 26,2 162,4 138,5 157,0
358,3 31,5 194,9 146,2 166,5
430,0 37,7 233,9 154,4 176,0
516,0 45,3 280,6 163,0 185,5
619,2 54,4 336,8 172,1 195,0
743,0 65,2 404,1 181,7 204,5
891,6 78,3 484,9 191,8 214,0
1069,9 93,9 581,9 202,5 223,5
855,9 112,7 484,3 213,8 233,0
684,8 135,3 410,0 225,7 242,5
547,8 162,3 355,1 238,3 252,0
438,2 194,8 316,5 251,6 261,5
350,6 233,7 292,2 265,7 271,0
280,5 280,5 280,5 280,5 280,5

Voor de duidelijkheid kolom A stijgt met 20% per jaar en daalt daarna weer met 20% per jaar. Voor kolom B is dit andersom.

Nu kan je dit percentage anders kiezen, het principe blijft.
Het pensioenfonds voorspelt op kolom D en volgens mij zou het C moeten zijn.

In dit geval is er met mijn pensioen een verschil tussen 111% (C) van mijn inleg en 160% (D) wat het pensioenfonds zegt.

Ben nog een beetje aan het varieren met dat percentage van 20%
Als ik hem kleiner maak 10% (defensief fonds) dan presteert C met 142% beter dan D 121%

Maak ik het 30% (indexfonds) dan kom ik voor C op 70% van mijn inleg en met D op 190%

En dan heeft het jaarrendement, in bovenstaand voorbeeld zo'n 5% ook nog invloed.

[WelVrolijk]

Het hangt dus blijkbaar af van de manier waarop de koers stijgt.

Als een aandeel (of fonds) zich gedraagt zoals jouw voorbeeld van de eerste kolom, dan is je rendement lager.

Als een aandeel (of fonds) zich gedraagt zoals jouw voorbeeld van de tweede kolom, dan is je rendement hoger.

Een aandelenfonds zal gebaseerd zijn op een aantal aandelen. De manier waarop de koers stijgt, hangt dus af van de manier waarop de koers vandie aandleen stijgt.

Indien een belangrijk deel van de aandelen zich gedraagt volgens kolom 1, dan heb jij gelijk.
Indien een belangrijk deel van de aandelen zich gedraagt volgens kolom 2, dan heb jij ongelijk.



Je zult dus *veel* meer gegevens moeten hebben over de daadwerkelijk te verwachten koersstijgingen, voordat je hiermee iemand kan overtuigen.

[iamcj]

Ik ben weer wat verder.

Wat ik beweerde in mijn vorige post klopte niet door een kleine fout in mijn sheet.

De exponentiele groei presteert altijd beter of gelijk dan het gemiddelde van de maximale en de minimale koers.

En dat is volgens mij ook logischer omdat het procentueel gebeuren is.

Correctie vorige post

Jaarrendement 5%

1. Maximale groei of krimp van de koers per jaar 10%
2. Maximale groei of krimp van de koers per jaar 20%
3. Maximale groei of krimp van de koers per jaar 30%

1. Exponentiele groei eindkapitaal = 142%
2. Exponentiele groei eindkapitaal = 152%
3. Exponentiele groei eindkapitaal = 194%

1. Gemiddelde minimale en maximale koers eindkapitaal <131%
2. Gemiddelde minimale en maximale koers eindkapitaal <102%
3. Gemiddelde minimale en maximale koers eindkapitaal < 88%

En als ik die 10% groei of krimp terugbreng richting het jaarrendement van 5% benaderen de rendementen elkaar.

Ben je dan nog steeds dezelfde mening toegedaan? (Welvrolijk)

Ik betwijfel aleen of ik het gemiddelde tussen de minimale en de maximale koers wel goed bereken.

[WelVrolijk]

iamcj schreef op 26-10-2006 @ 10:32 :
De exponentiele groei presteert altijd beter of gelijk dan het gemiddelde van de maximale en de minimale koers.

<knip>

Ben je dan nog steeds dezelfde mening toegedaan? (Welvrolijk)

Ja hoor.


Dat de exponentiele groei beter presteert dan het rekenkundig gemiddelde weten we al lang.

Zie bijvoorbeeld de berichten in deze thread van 24-10-2006 @ 23:15, 25-10-2006 @ 11:28, 25-10-2006 @ 21:09, etcetera.


Het probleem is dat "het rekenkundig gemiddelde van de maximale en de minimale koers" geen voorspellende waarde heeft voor de koers van het aandelenfonds.

----------

Als de koers eerst een hele tijd gelijk blijft, en dan tegen het eind van de looptijd plotseling stijgt, zal je bij deze manier van aankopen automatisch een veel hoger rendement krijgen dan bij een exponentiele groei.

Als de koers eerst sterk stijgt, en daarna een hele tijd gelijk blijft, zal je bij deze manier van aankopen automatisch een veel lager rendement krijgen dan bij een exponentiele groei.

En met het simpelweg optellen van een worst-case-scenario bij een best-case-scenario krijg je heus geen goede voorspelling.

----------

Ik denk dat je (met de beperkte hoeveelheid informatie die tot onze beschikking staat) sowieso geen voorspelling kunt doen die betrouwbaarder is dan de berekeningen die de specialisten van de institutionele beleggers uitvoeren.

[iamcj]

WelVrolijk schreef op 26-10-2006 @ 21:53 :
Ja hoor.


Als de koers eerst een hele tijd gelijk blijft, en dan tegen het eind van de looptijd plotseling stijgt, zal je bij deze manier van aankopen automatisch een veel hoger rendement krijgen dan bij een exponentiele groei.

Als de koers eerst sterk stijgt, en daarna een hele tijd gelijk blijft, zal je bij deze manier van aankopen automatisch een veel lager rendement krijgen dan bij een exponentiele groei.

Dit is waarom ik hier mee bezig ben, dat bedacht ik me nl. s'avonds in bed. De bandbreedte waar mijn eindkapitaal aan onderhevig is, is wat mij frustreerd.

Dat het rekenkundig gemiddelde fout is, was ik na 15 minuten staren ook achter

Maar ik ben er tot op dit moment nog van overtuigd dat het juiste gemiddelde van de minimale en maximale koers een lager rendement biedt dan de exponentiele groei die mij wordt als gemiddelde wordt voorgespiegeld. Dat de koers zelden dat gemiddelde zal volgen valt buiten het principe.

Volgens mijn bescheiden mening is een indexkoers niets anders dan een willekeurige reeks die licht omhoog wordt gestuwd door de groei van de onderliggende economie. Je kunt voorspellen totdat je een ons weegt. Voor iemand die het goed voorspelt, is er ook iemand die het fout voorspelt.

[WelVrolijk]

Tja,


Maar die onzekerheid is inherent aan de keuze voor aandelen.

Daarom zullen de meeste mensen die nog slechts 18 jaar te gaan hebben voor hun pensioen, ook niet voor 100% aandelen kiezen.


Als je die risico's niet wilt lopen, moet je voor meer zekerheid kiezen.
Maar daarbij kies je dan natuurlijk automatisch voor een lager rendement.
Als dat lagere rendement dan niet voldoende is voor een fatsoenlijk inkomen op je oude dag, heb jij hetzelfde probleem als ik.


--------------

Dit onderwerp lijkt mij trouwens behoorlijk off-topic voor dit forum.

De meeste scholieren zullen waarschijnlijk nog wel iets langer dan 18 jaar te gaan hebben voor hun pensioen.

[iamcj]

Ik liep hier vroeger veel rond, en aangezien ik wel goed ben in bedenken, maar niet in onderbouwen kwam ik hier terecht.

Ik wordt door mijn werkgever verplicht om dit aan te gaan en dat wil ik aanvechten ook voor mijn medecollega's die gewoon alles 40 jaar lang in een aandelenfonds hebben zitten.

Ook een defensief obligatiefonds fluctueert met de rente en kan ook de gehele looptijd boven de exponentiële trend liggen.

Ik beheer het dan liever zelf met de kans dat ik ooit een deel tegen 6/7% vast kan zetten.

Iig bedankt voor het meedenken.

Ben alleen nog op zoek naar het werkelijke gemiddelde tussen mijn minimale en maximale waarden...

[WelVrolijk]

iamcj schreef op 26-10-2006 @ 22:09 :
Volgens mijn bescheiden mening is een indexkoers niets anders dan een willekeurige reeks die licht omhoog wordt gestuwd door de groei van de onderliggende economie. Je kunt voorspellen totdat je een ons weegt. Voor iemand die het goed voorspelt, is er ook iemand die het fout voorspelt.

Daarom werken verzekeraars (en banken en institutionele beleggers) dan ook niet met zelfgemaakte modellen en korte-termijn voorspellingen.

Ze maken gebruik van speciale takken van de wiskunde (waar ik mij niet in heb verdiept), en van gigantisch veel kennis en ervaring, en van een heleboel historische informatie waar buitenstaanders geen toegang toe hebben.

En ze werken met zeer grote bedragen, over zeer lange termijnen, met een grote spreiding, en met allerlei slimme manieren om risico's af te dekken (verzekeren, hedgen, opties, termijnmarkt, ...)

Hiermee krijgen ze dus voor elkaar dat enerzijds de bevolking betrouwbare pensioenen kan opbouwen (en zich kan verzekeren bij betrouwbare verzekeringsmaatschappijen), en dat anderzijds de bedrijven voldoende kapitaal beschikbaar hebben om de bevolking aan het werk te houden (zodat ze weer pensioenen kunnen opbouwen en verzekeringspolissen kunnen kopen, ... ).

[iamcj]

Werkte allemaal fantastisch tot 1998, nu mag ik het risico dragen