[WisB] Afstand tussen twee ellipsen

[duivelaartje]

Een opdracht uit examenbundel 2003 - 2004, blz. 31

Opdracht:

Het punt P beweegt over een ellips E1 en het punt Q over een eellips E2 volgens:

Xp = 4 cos t
Yp = sin t

Xq = 6 cos t
Yq = 3 sin t

In het figuur (krijg je niet ) zijn E1 en E2 getekend.
Er is een tijdstip t tussen 0 en 0,5'pi', waarvoor geldt: Xq = Xp + 1

Vraag:

Bewijs dat de afstand tussen P en Q op elk tijdstip t hetzelfde is.


Kan iemand mij uitleggen hoe ik dat moet doen? Van de antwoorden snap ik niet veel. Is er misschien een standaard functie voor afstand-dingen?

Voor de afstand tussen de twee punten geldt SQRT(dX²+dY²) (Pythagoras )

dX = 6cost - 4cost = 2cost
dX² = 4cos²t

dY = 3sint - sint = 2sint
dY² = 4sin²t

dY²+dX² = 4(cos²t + sin²t)

d = SQRT (4(cos²t + sin²t))

cos²t + sin²t = 1 (zie binas)

-->
SQRT (4(cos²t + sin²t)) = SQRT(4) = 2


Denk ik

[duivelaartje]

Jeroenjeroen schreef op 02-04-2007 @ 18:46 :
Voor de afstand tussen de twee punten geldt SQRT(dX²+dY²) (Pythagoras )

dX = 6cost - 4cost = 2cost
dX² = 4cos²t

dY = 3sint - sint = 2sint
dY² = 4sin²t

dY²+dX² = 4(cos²t + sin²t)

d = SQRT (4(cos²t + sin²t))

cos²t + sin²t = 1 (zie binas)

-->
SQRT (4(cos²t + sin²t)) = SQRT(4) = 2


Denk ik

Haha, precies op hetzelfde moment vond ik de functie in 'samengevat'.

Maar ik snap het nu! Ik had gewoon eerst de samengevat-bundel door moeten kijken.

[mathfreak]

duivelaartje schreef op 02-04-2007 @ 18:13 :
Een opdracht uit examenbundel 2003 - 2004, blz. 31

Opdracht:

Het punt P beweegt over een ellips E1 en het punt Q over een eellips E2 volgens:

Xp = 4 cos t
Yp = sin t

Xq = 6 cos t
Yq = 3 sin t

In het figuur (krijg je niet ) zijn E1 en E2 getekend.
Er is een tijdstip t tussen 0 en 0,5'pi', waarvoor geldt: Xq = Xp + 1

Vraag:

Bewijs dat de afstand tussen P en Q op elk tijdstip t hetzelfde is.


Kan iemand mij uitleggen hoe ik dat moet doen? Van de antwoorden snap ik niet veel. Is er misschien een standaard functie voor afstand-dingen?

Laat P(x_P,y_P) en Q(x_Q,y_Q) 2 gegeven punten zijn, dan is de afstand van P tot Q gelijk aan sqrt([x_Q-x_P]²+[y_Q-y_P]²). Uit de parametervoorstellingen volgt: x_Q-x_P=6*cos(t)-4*cos(t)=2*cos(t) en y_Q-y_P=3*sin(t)-sin(t)=2*sin(t), dus (x_Q-x_P)²=4*cos²(t) en (y_Q-y_P)²=4*sin²(t), dus sqrt([x_Q-x_P]²+[y_Q-y_P]²)=sqrt(4*cos²(t)+4*sin²(t))
=sqrt(4[cos²(t)+sin²(t)])=sqrt(4*1)=sqrt(4)=2, dus de afstand van P tot Q is altijd 2 en is dus niet afhankelijk van t.

duivelaartje schreef op 02-04-2007 @ 18:50 :
Haha, precies op hetzelfde moment vond ik de functie in 'samengevat'.

Maar ik snap het nu! Ik had gewoon eerst de samengevat-bundel door moeten kijken.

Jaaaaaaaaaaaa die boekjes zijn zoo slim. Echt niet normaal meer.
Hij staat trouwens ook op de formulekaart Lovin that thing. Zou niet weten wat ik zonder zou moeten. lol

[duivelaartje]

mathfreak schreef op 02-04-2007 @ 18:53 :
[...], dus de afstand van P tot Q is altijd 2 en is dus niet afhankelijk van t.

Dat blijkt dus niet zo te zijn...

Want bij de volgende vraag moet ik onderzoek of de afstand van Q (op E2) op tijdstip 2 werkelijk op de iso-afstandslijn 2 van ligt van E1.

Ik moet dus onderzoekn of de afstand van Q tot E1 gelijk is aan 2. Volgens de antwoorden is dat dus niet zo. uhm.

[duivelaartje]

Jeroenjeroen schreef op 02-04-2007 @ 19:00 :
Jaaaaaaaaaaaa die boekjes zijn zoo slim. Echt niet normaal meer.
Hij staat trouwens ook op de formulekaart Lovin that thing. Zou niet weten wat ik zonder zou moeten. lol

Op de formule-kaart had/heb ik 'm nog niet gevonden.

duivelaartje schreef op 02-04-2007 @ 19:06 :
Op de formule-kaart had/heb ik 'm nog niet gevonden.

De allereerste bij 'Goniometrische formules'

Jeroenjeroen schreef op 02-04-2007 @ 19:17 :
De allereerste bij 'Goniometrische formules'

duivelaartje schreef op 02-04-2007 @ 19:05 :
Dat blijkt dus niet zo te zijn...

Want bij de volgende vraag moet ik onderzoek of de afstand van Q (op E2) op tijdstip 2 werkelijk op de iso-afstandslijn 2 van ligt van E1.

Ik moet dus onderzoekn of de afstand van Q tot E1 gelijk is aan 2. Volgens de antwoorden is dat dus niet zo. uhm.

De vraag zegt ook niet dat elk voetpunt van E1 op E2 of andersom 2 is, maar voor eenzelfde t is |PQ| altijd gelijk. Snaptem?

[duivelaartje]

Jeroenjeroen schreef op 02-04-2007 @ 19:17 :
De allereerste bij 'Goniometrische formules'

Jamaar.. dat is sin2t + cos2t = 1 (kwadraten uhw)

Ik voel me echt dom! Goniometrie vind ik echt stom.

[duivelaartje]

Jeroenjeroen schreef op 02-04-2007 @ 19:20 :
De vraag zegt ook niet dat elk voetpunt van E1 op E2 of andersom 2 is, maar voor eenzelfde t is |PQ| altijd gelijk. Snaptem?

Ohw, oh ja.

duivelaartje schreef op 02-04-2007 @ 19:20 :
Jamaar.. dat is sin2t + cos2t = 1 (kwadraten uhw)

Ik voel me echt dom! Goniometrie vind ik echt stom.

In "Haha, precies op hetzelfde moment vond ik de functie in 'samengevat'." had je het toch over sin2t + cos2t = 1?

Die allereerste van SQRT(dX^2 + dY^2) is gewoon pythagoras en staat dus niet op de formulekaart .

[duivelaartje]

Jeroenjeroen schreef op 02-04-2007 @ 19:21 :
In "Haha, precies op hetzelfde moment vond ik de functie in 'samengevat'." had je het toch over sin2t + cos2t = 1?

Die allereerste van SQRT(dX^2 + dY^2) is gewoon pythagoras en staat dus niet op de formulekaart .

Nee, die onderste staat ook in samengevat. Speciaal voor goniometrie.