[WI] Klein vraagje

[Diamera]

Het is geen huiswerk maar het kwam voorbij op tv; kan iemand me misschien laten zien hoe je dit snel doet, zonder alles uit te tekenen?

''Een team bestaat uit 4 personen. Hoeveel verschillende teams kun je maken als je 7 mensen tot je beschikking hebt staan?''

[Tochjo]

Zonder aanvullende voorwaarden kan dit op 7 x 6 x 5 x 4 = 840 manieren. Je kiest eerst één van de zeven personen; daarvoor heb je 7 mogelijkheden. Vervolgens heb je nog 6 mogelijkheden voor de tweede persoon, nog 5 voor de derde en nog 4 voor de vierde.

Dit probleem kun je (in gedachten) visualiseren met een boomdiagram, dat je natuurlijk niet helemaal hoeft te tekenen. Als je maar begrijpt dat je eerst zeven takken hebt, die vervolgens elk zes takken krijgen, enzovoorts. Dan kun je vervolgens bedenken dat het totaal aantal mogelijkheden 7 x 6 x 5 x 4 moet zijn.

[Diamera]

Dank je voor je antwoord! Daar dacht ik inderdaad aan maar dan heb je niet allemaal -verschillende- teams; er zitten dan dubbele tussen, toch?

[Tochjo]

Oh ja, mijn antwoord is juist als de volgorde uitmaakt (je kiest bijvoorbeeld eerst een keeper, dan een verdediger, dan een middenvelder en dan een aanvaller; in dat geval maakt het uit of je een speler als eerste, tweede, derde of vierde kiest en is ABCD niet hetzelfde als DABC).
Als de volgorde niet uitmaakt, is er sprake van een combinatie en dan zijn er = 35 mogelijkheden. Dit aantal kun je ook vinden als je uitgaat van het vorige antwoord van 840, want steeds komen er 24 groepjes van de 840 neer op dezelfde groep van 4 als de volgorde niet uitmaakt. Dat kun je zien als je vier spelers A, B, C en D noemt, want dan zijn er 4! = 24 mogelijkheden om deze spelers op volgorde te zetten, dus 24 echt verschillende groepen als de volgorde uitmaakt. Als de volgorde onbelangrijk is, komen deze 24 groepen op hetzelfde neer. Dus krijg je 840 gedeeld door 24, en dat maakt 35 verschillende groepen.

Ik heb het gevoel dat ik het niet helemaal helder verwoord heb, maar ik hoop dat de boodschap is overgekomen

[Diamera]

Ooh... ik ga morgen kijken wat dat uitroepteken betekent. Het was een quiz, en het gegeven antwoord was inderdaad 35, maar dat ziet er toch niet uit als iets wat je in een paar tellen uit je hoofd doet?

[Tochjo]

Het uitroepteken betekent faculteit en is een notatie die in de kansrekening veel gebruikt wordt. Het betekent: vermenigvuldig het getal ervoor met alle kleinere gehele getallen tot en met 1. Dus 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24. Dit is precies het aantal manieren waarop je vier dingen op volgorde kunt zetten. We kunnen dit bijvoorbeeld verduidelijken met rijtjes van letters A, B, C en D en kijken hoeveel we er kunnen maken:

ABCD   ABDC   ACBD   ACDB   ADBC   ADCB
BACD   BADC   BCAD   BCDA   BDAC   BDCA
CABD   CADB   CBAD   CBDA   CDAB   CDBA
DABC   DACB   DBAC   DBCA   DCAB   DCBA

Je ziet dat het er inderdaad 24 zijn.

Uit je hoofd combinaties uitrekenen kan vrij goed als het om kleine getallen gaat. Er gelden wat rekenregels, bijvoorbeeld .

In dit geval wordt dat

Misschien lijkt het nu wat magisch, maar oefening baart kunst

[ThomasJu]

Zoals zo'n beetje voor alles geldt: Als je de kennis beheerst is het zo uit te rekenen.

"Dat uitroepteken" heet faculteit. Dit is niet heel lastig, je moet het alleen even weten.
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
3! = 3 x 2 x 1 = 6
Je vermenigvuldigt gewoon alle voorgaande integers (integers zijn gehele getallen)

Als je hier veel mee oefent (zonder rekenmachina) gaat het uitrekenen steeds sneller, en kom je er achter dat het makkelijk uit je hoofd kan: