[wiskunde] logaritmen berekenen zonder rekenmachine

[Uch]

Ik ben een PO aan het maken voor wiskunde over Napier en Briggs. Deze hebben de zogenaamde logaritmentafels gemaakt. Nu wil ik ook weten hoe ze de waarden in deze tafels berekenden. Deden ze dit met de middeleveredige?

Uch

[GinnyPig]

Taylorbenadering van Log[x], rondom het punt x = 1:

log[x] = (x-1) - 1/2(x-1)² + 1/3(x-1)³ - 1/4(x-1)⁴ + 1/5(x-1)⁵ - 1/6(x-1)⁶ + ....

Misschien daarmee?

[Uch]

Volgens mij is dit pas na Napier uitgedacht. Deze methode wordt nu inderdaad gebruikt. Ik ben echter op zoek naar de methode van Napier en Briggs zelf. Dat was volgens mij niet deze.

[Tampert]

heb je al gegoogled? Want daar staan op zich wel wat site over deze twee mannen...

[blablalou]

Hallo uch,

Misschien heb je iets aan de volgende info...
http://mathforum.org/library/drmath/view/52469.html
..van Dr Math

[gielja]

in je wiskunde boek kijken




giela

[Uch]

@Tampert: Ja ik het al gegoogled. Alleen de info die ik daar verkreeg was niet helemaal eenduidig.

@blablalou: Dank je goede site. Deze site verklaard ook waarom ik eerst eenduidigheid vond. Beide heren hebben een andere methode.

[gielja]

aan je broertje vragen die weet het wel

[Joostx]

Er zijn in bibliotheken van universiteiten vermoedelijk verschillende boeken over te vinden.
Zoek op onderwerp Geschiedenis van de wiskunde.

Prof. Eli Maor heeft o.a een boek geschreven over het getal "e", en in dit boek wordt de geschiedenis van de logaritmen besproken.

Uit m'n hoofd ging het ongeveer als volgt:
In de goniometrie kun je kwadraten ( cos^2(x) bijv) omzetten in dubbele hoek formules.
Omdat met name in de sterrekunde getallen heel erg groot zijn en het rekenen hiermee niet praktisch was
werd er gezocht naar een vergelijkbare methode.

Napier maakte een tabel van getallen dicht bij 1 die tot machten werden verheven. Heel wat rekenwerk dus. etc etc.

Wil je weten welk boek het precies is dan ga je even naar www.amazon.com en tik je bij auteur Maor in. Dan verschijnen de boeken die hij schreef. Overigens allen zeer lezenswaardig als je engels goed genoeg is.

Een andere bron die je kunt proberen is het Freudenthal instituut van de Universiteit van Utrecht. Medewerkster Dede de Haan heeft een boekje/brochure over logaritmen geschreven.
Website: www.fi.ruu.nl of zoiets.

Succes.

Joost

[Joostx]

Uch schreef op 09-05-2003 @ 13:29:
Ik ben een PO aan het maken voor wiskunde over Napier en Briggs. Deze hebben de zogenaamde logaritmentafels gemaakt. Nu wil ik ook weten hoe ze de waarden in deze tafels berekenden. Deden ze dit met de middeleveredige?

Uch

In de tijd van Napier waren er formules bekend onder de naam: prosthaphaertica. Dit waren formules van de soort:

sin A x sin B = 1/2( cos(A-B) - cos(A+B) )
Wat je hier ziet is dat je een vermenigvuldiging omzet in een bewerking waarbij je een verschil neemt uit een hoekverschil en een hoeksom.
Men hoopte voor gewone rekenkunde ook zo'n soort regel te kunnen ontdekken c.q. uitvinden.

Mogelijk is dit idee de oorzaak geweest van Napier werk met logaritmen.

Een ander idee dat ten grondslag ligt aan de Napier logaritmen is de zogenaamde meetkundige reeks: 1, q, q^2, q^3, ....,q^n
Lang voor Napier was al bekend dat er een simpele relatie bestond tussen de termen van zo'n reeks en de exponent.

Om een goede tabel te maken kun je twee dingen doen. Je kunt een grondtal nemen en daarbij gebroken exponenten nemen die heel dicht bij elkaar liggen of je neemt een grondtal en verheft dat tot geheeltallige machten. En je neemt dat grondtal zodanig dat de opeenvolgende machten dicht genoeg bij elkaar liggen.

Aangezien gebroken exponenten in de tijd van Napier nog niet bestonden, koost Napier voor een grondtal dat niet veel varieerde met de toenemende exponenten.
Als grondtal koos hij 1-10^-7 (0,9999999 )

Napier maakte een tabel als volgt:
10^7 (1) = 10.000.000
10^7(1- 10^-7) = 9.999.999
10^7(1- 10^-7)^2 = 9.999.998
10^7(1- 10^-7)^3 = etc
tot
10^7(1- 10^-7)^100 = 9.999.900

Napier maakte op deze manier een aantal tabellen, met de hand!
Goed, het verhaal gaat nog een eindje verder, maar je hebt nu in elk geval de grondgedachte.

Napier deed dit van 1594 t/m 1614

Briggs, een wiskunde professor, was zeer onder de indruk van Napiers logaritmen. Bij een gesprek stelde hij Napier voor om de logaritme van 1 gelijk te stellen aan 0, in plaats van die van 10^-7 en daarnaast om de logaritme van 10 gelijk te stellen aan een macht van 10. Napier nam de voorstellen over, maar was al oud en Briggs maakte het werk af. Vandaar dat we nu over de Briggse logaritme (grondtal 10 ) spreken.

Meer over dit kun je vinden in:
"e: the story of a number", Eli Maor, Princeton Paperbacks ISBN 0-691-05854-7
een andere nuttige bron is bijvoorbeeld:
"Mathematics from the birth of Numbers", Jan Gulberg, WW Norton & Company ISBN 0-393-04200-X

andere optie:
www.google.nl
Geef als zoekvraag op: Briggs logarithm Napier

Daar komt vast wat uit.

Succes,

Joostx