Rij van Fibonacci etc.

[Demon of Fire]

1:

De rij van Fibonacci wordt gegeven door F (n ) = F( n-1) + F( n-2)

Bewijs met behulp van de inductiemethode dat als n deelbaar is door 4 dat F( n ) deelbaar is door 3.

2:

1^4+2^4+3^4+...+n^4

Vind een (polynomiale) uitdrukking hiervoor en bewijs met volledige inductie dat deze juist is.

Ik heb van alles geprobeerd maar het licht heb ik nog niet kunnen zien.

Groetjes
Ben(die komend weekend maar eens heeeeeeeeel goed gaat leren

[Tampert]

Demon of Fire schreef op 11-09-2003 @ 13:14:
1:

De rij van Fibonacci wordt gegeven door F (n ) = F( n-1) + F( n-2)

Bewijs met behulp van de inductiemethode dat als n deelbaar is door 4 dat F( n ) deelbaar is door 3.

We bewijzen het eerst voor een aantal n-en deelbaar door 4.
4 is de eerste:
F(4) = F(3)+F(2) = 3 Dat klopt.
F(8) = F(7)+F(6) = 21, 21 is deelbaar door 3 dus dat klopt.

We gaan nu de inductie toepassen:
Als geldt dat voor een n=<N die deelbaar door 4 is
F = F(N-2) + F(N-1) deelbaar is door 3 Dan geeft
de volgende N die deelbaar is door 4 dus:

F(N+4) = F(N+4-2) + F(N+4-1)
F(N+4) = F(N+2) + F(N+3)
F(N+4) = F(N+2) + F(N+2) + F(N+1)
F(N+4) = 2(F(N+1)+F) +F(N+1)
F(N+4) = 2F(N+1) + F(N+1) +F
F(N+4) = 3F(N+1) + F

3F(N+1) is deelbaar door 3 (3 is deelbaar door 3)
F is deelbaar door 3 (de aanname die we nodig hebben voor de inductiestrap).

Je hebt het beween voor alle n totaan 8. Verder heb je bewezen dat als de eigenschap geldt voor N deze eigenschap ook geldt voor N+4. QED

2:

1^4+2^4+3^4+...+n^4

Vind een (polynomiale) uitdrukking hiervoor en bewijs met volledige inductie dat deze juist is.

Ik heb van alles geprobeerd maar het licht heb ik nog niet kunnen zien.

Groetjes
Ben(die komend weekend maar eens heeeeeeeeel goed gaat leren

euhm... ik kan de uitdrukking niet vinden... Ik tast ook een beetje in het duister over deze uitdrukking.

[Demon of Fire]

F(N+4) = F(N+4-2) + F(N+4-1)
F(N+4) = F(N+2) + F(N+3)
F(N+4) = F(N+2) + F(N+2) + F(N+1)
F(N+4) = 2(F(N+1)+F) +F(N+1)

Zit er geen fout tussen de bovenste stap en degene hier benenden?

Moet F niet ook 2 zijn als je de haakjes wegwerkt?

F(N+4) = 2F(N+1) + F(N+1) +F
F(N+4) = 3F(N+1) + F m

Maar bedankt voor je uitleg...het is in ieder geval op het hier bovenste na veel duidelijker geworden! Ik was al op de goeie weg, maar bijna is niet helemaal helaas!

Groetjes
Ben(die misschien weer eens niet goed kijkt

[mathfreak]

Demon of Fire schreef op 11-09-2003 @ 13:14:
1^4+2^4+3^4+...+n^4

Vind een (polynomiale) uitdrukking hiervoor en bewijs met volledige inductie dat deze juist is.

Ik heb van alles geprobeerd maar het licht heb ik nog niet kunnen zien.

Groetjes
Ben(die komend weekend maar eens heeeeeeeeel goed gaat leren

Ik heb het opgezocht voor je. Het blijkt dat de som van de vierde machten van 1 t/m n wordt gegeven door n(n+1)(2*n+1)(3*n²+3*n-1)/30. Het bewijzen van de juistheid ervan met volledige inductie zal verder geen probleem geven, denk ik.
De som van de k-de machten van 1 t/m n wordt gegeven door de uitdrukking (-1)ⁱ*c(k+1,i)*B_2*i(n+1))^k+1-i/(k+1) voor i=0 t/m k te sommeren, waarbij c(k+1,i) het aantal combinaties van i uit k voorstelt en B_2*i een zogenaamd getal van Bernoulli voorstelt.

[Tampert]

Demon of Fire schreef op 11-09-2003 @ 18:53:
F(N+4) = F(N+4-2) + F(N+4-1)
F(N+4) = F(N+2) + F(N+3)
F(N+4) = F(N+2) + F(N+2) + F(N+1)
F(N+4) = 2(F(N+1)+F) +F(N+1)

Groetjes
Ben(die misschien weer eens niet goed kijkt

je hebt helemaal gelijk. De argumentatie blijft trouwens staan omdat 2F ook deelbaar is door 3.

[Demon of Fire]

mathfreak schreef op 11-09-2003 @ 19:05:
Ik heb het opgezocht voor je. Het blijkt dat de som van de vierde machten van 1 t/m n wordt gegeven door n(n+1)(2*n+1)(3*n²+3*n-1)/30. Het bewijzen van de juistheid ervan met volledige inductie zal verder geen probleem geven, denk ik.
De som van de k-de machten van 1 t/m n wordt gegeven door de uitdrukking (-1)ⁱ*c(k+1,i)*B_2*i(n+1))^k+1-i/(k+1) voor i=0 t/m k te sommeren, waarbij c(k+1,i) het aantal combinaties van i uit k voorstelt en B_2*i een zogenaamd getal van Bernoulli voorstelt.

Ah! Heel erg bedankt...en het erge is dat ik die uitdrukking zelf moest zien uit te rekenen/beredeneren.

En dat terwijl ik nog maar 2 weken bezig ben met de studies!!!

Groetjes
Ben(die in ieder geval een antwoord heeft waar hij naar toe moet werken

[blablalou]

hallo D of F,

Je vindt informatie over 1^4 + 2^4 +.... bij Sloane...
http://www.research.att.com/~njas/sequences/
...met 1,17,98,354

[Dvalin]

neem: s_n = 1⁴ + 2⁴ + 3⁴ + ... +n⁴

voor deze betrekking is redelijk eenvoudig een formule te maken, er geldt namelijk:
s_n = s_n-1 + n⁴
s_n - s_n-1 = n⁴

met n => 1 en s₀ = 0

je bent met Fibonacci en deze som bezig -> ben je met recurrente betrekkingen bezig?
zo ja, dan moet je bovenstaande recurrente betrekking, redelijk eenvoudig op moeten kunnen lossen

[Demon of Fire]

Dvalin schreef op 13-09-2003 @ 16:31:
neem: s_n = 1⁴ + 2⁴ + 3⁴ + ... +n⁴

voor deze betrekking is redelijk eenvoudig een formule te maken, er geldt namelijk:
s_n = s_n-1 + n⁴
s_n - s_n-1 = n⁴

met n => 1 en s₀ = 0

je bent met Fibonacci en deze som bezig -> ben je met recurrente betrekkingen bezig?
zo ja, dan moet je bovenstaande recurrente betrekking, redelijk eenvoudig op moeten kunnen lossen

Ah, bedankt!

Nee, we zijn bezig met algemene wiskunde zeg maar....met Getaltheorie(op dit moment), Polynomen, Hogere dimensies(R^n), Grafentheorie, en nog een aantal andere onderwerpen...als voorbereiding op de wiskunde in het volgende semester. (Algebra I, Kansrekening en statistiek I etc.)
De basis wiskunde wordt verbeterd dan het niveau dat je op het VWO, of HBO in mijn geval, hebt geleerd. En vooral de wiskundige notaties en bewijsvoering. Hoe je dat doet uiteindelijk.

Groetjes
Ben(die zo lineaire algebra en analyse gaat leren

[Dvalin]

'kmoet het 2e semester Algebra I volgen in Leiden (op donderdag) volgens mijn rooster

[Demon of Fire]

Dvalin schreef op 14-09-2003 @ 13:29:
'kmoet het 2e semester Algebra I volgen in Leiden (op donderdag) volgens mijn rooster

Laat me raden...je studeert Technische wiskunde aan de TU Delft??

Groetjes
Ben(die weet dat er een samenwerkingsverband is tussen de 2 universiteiten

[Dvalin]

Demon of Fire schreef op 14-09-2003 @ 18:50:
Laat me raden...je studeert Technische wiskunde aan de TU Delft??

Groetjes
Ben(die weet dat er een samenwerkingsverband is tussen de 2 universiteiten

je mag nooit meer raden