3e graadsvergelijkingen.. hoe los je die algebraïsch op?

[Upior]

Ik moet over een paar weken een wiskunde PO inleveren. De rest van de klas gaat gezellig een middagje landmeten maar ik heb daar niet echt zin in, dus ik dacht ik doe het over derdegraadsvergelijkingen. Enige probleem: ik ben een 4e klas VWO-leerling en ik weet nog wel hoe een 2e-graads vergelijking opgelost moet worden, maar verder...

Zou iemand mij het enigszins kunnen uitleggen?

Kijk maar bij mijn reply onder de abc-formule

[pol]

abc-formules gelden voor het oplossen van een vierkantsvergelijking.
Hij heeft het over een kubische vergelijking, dus die kun je niet meer gebruiken.

Oplossing : formules van Cardano
http://forum.scholieren.com/Forum9/HTML/001708.html

Bij de laatste reply.

pol schreef:
abc-formules gelden voor het oplossen van een vierkantsvergelijking.
Hij heeft het over een kubische vergelijking, dus die kun je niet meer gebruiken.

Oplossing : formules van Cardano
http://forum.scholieren.com/Forum9/HTML/001708.html

Bij de laatste reply.

Een derdegraads vergelijking los je op met abcvergelijking tenzij je hem in hele getallen kan ontbinden. Waar staat dat hij een kubische vergelijking bedoelt?

[GinnyPig]

darkshooter schreef:
Een derdegraads vergelijking los je op met abcvergelijking tenzij je hem in hele getallen kan ontbinden. Waar staat dat hij een kubische vergelijking bedoelt?

2e-graads/vierkantsvergelijking:
ax^2 + bx + c

3e-graads/kubische vergelijking:
ax^3 + bx^2 + cx + d

En die tweede is dus niet op te lossen met de abc-formule

[pol]

Vierkantsvergelijking = vergelijking 2 de graad.

Kubische vergelijking = vergelijking 3 de graad.

abc formules hebben betrekking op : ax²+bx+c=0. Daar staat toch nergens een x³.

[mathfreak]

De formule voor het oplossen van een derdegraadsvergelijking wordt de formule van Cardano genoemd, maar historisch gezien is dat niet juist. De formule werd namelijk voor het eerst door de wiskundige Nicolo Fontana (ook wel Tartaglia wat "stotteraar" betekent genoemd) ontdekt en onder een eed van geheimhouding aan Cardano doorgegeven. Cardano maakte in zijn boek Ars Magna (Grote Kunst) van 1545 de formule openbaar, maar was wel zo eerlijk om de formule aan Tartaglia toe te kennen.
De ontdekking van wat de casus irreducibilis wordt genoemd (het geval D=0) leidde tot het invoeren van getallen die we nu complexe getallen noemen. Dit zijn getallen van de vorm a+b*i met a en b reëel en i^2 = -1. Het was pas in 1799 dat de Duitse wiskundige Carl Friedrich Gauss er in slaagde om complexe getallen hun geheimzinnigheid te ontnemen. In dat jaar bewees hij in zijn proefschrift dat iedere vergelijking van de graad n precies n complexe oplossingen heeft. Voor een oneven waarde van n is minstens een van de oplossingen een reëel getal en komen de andere oplossingen in complex geconjugeerde paren voor. Als z=a+b*i een complex getal is, dan noemen we z'=a-b*i de complex geconjugeerde waarde van z.
De door Gauss bewezen stelling wordt tegenwoordig de zogenaamde hoofdstelling van de algebra genoemd. Opmerkelijk is dat het bewijs hiervan niet met zuiver algebraïsche methoden kan worden gegeven (vandaar het bijvoeglijk naamwoord zogenaamd), maar dat men in plaats daarvan een beroep moet doen op de complexe functietheorie.

[Upior]

hmm

maar wat zijn nou de variabelen z,p en q? (en u en v?)

Ik snap er nog niet zoveel van (huhu), kan iemand er anders misschien 1 voordoen?

[mathfreak]

Om te beginnen herhaal ik even de uitleg van pol:
x^3 + a x^2 + b x + c = 0
Stel x = z - (a/3) , dit geeft de gereduceerde vergelijking : z^3 + p z +q = 0

waarin p = - a^2/3 + b en q = 2/27 * a^3 - ab / 3 + c


Discriminant D = (1/2 * q)^2 + (1/3 * p)^3 .

Voor D>0 : (formules van Cardano) :

Stel u = (-1/2 * q + sqrt(D))^(1/3) en

v = (-1/2 * q - sqrt(D))^(1/3) dan luiden de 3 oplossingen als volgt :

z1 = u+v ,
z2 = - (u+v)/2 + (u-v)/2 *sqrt(3) * i ,
z3 = - (u+v)/2 - (u-v)/2 *sqrt(3) * i

We beschouwen als voorbeeld de vergelijking x^3 + 4*x^2 + x + 4 = 0, dus a=c=4 en b=1. We stellen nu x = z - (a/3), dus x = z - (4/3) en krijgen dan de vergelijking z^3 + p z + q = 0 met p = - a^2/3 + b = -16/3 + 1 = -13/3 = -4 1/3 en q = 2/27 * a^3 - ab / 3 + c
= 2/27*4^3 - 4*1/3 + 1 = 128/27 - 1/3 = 119/27 = 4 11/27. De discriminant D is gelijk aan (1/2 * q)^2 + (1/3 * p)^3 ofwel 4/9 + (119/9)^3 = 324/729 + 1685159/729 = 324/729 + 2313 282/729 = 2313 706/729. Omdat geldt D>0 krijgen we 3 oplossingen, te weten z1 = u+v ,
z2 = - (u+v)/2 + (u-v)/2 *sqrt(3) * i en z3 = - (u+v)/2 - (u-v)/2 *sqrt(3) * i
met u = (-1/2 * q + sqrt(D))^(1/3) en v = (-1/2 * q - sqrt(D))^(1/3) en i^2 = -1. Omdat p,q en D bekend zijn kunnen we u en v bepalen waarmee uiteindelijk ook de oplossingen z1 t/m z3 gevonden kunnen worden.


------------------
Newton is dood, Einstein is overleden en ik voel me ook niet lekker.



[Dit bericht is aangepast door mathfreak (16-03-2002).]

[GinnyPig]

Goh.. je moet er maar opkomen he

ja, natuurlijk. Heb een grafische rekenmachine die het allemaal doet. Ga naar menu 6 (equa)-->f2 (polynomial)-->f2 (3) is toch handig. Voor de texas kan het volgens mij niet.

[GinnyPig]

darkshooter schreef:
ja, natuurlijk. Heb een grafische rekenmachine die het allemaal doet. Ga naar menu 6 (equa)-->f2 (polynomial)-->f2 (3) is toch handig. Voor de texas kan het volgens mij niet.

Grafisch-numeriek is heel wat anders dan algebraïsch

[simple creed]

formule van cardano... hebben wij net een hele PO van gemaakt...

ik had het hoogste van de klas