contractiestelling

[robdr]

Morgeu,

Kan iemand mij de contractiestelling uitleggen en hoe met deze stelling aan te tonen bij welke U0 de recursieve rij Un convergeert? Van de uitleg in mijn wiskundeboek wordt ik namemlijk ook niet bijzonder veel wijzer

alvast bedankt

[mathfreak]

De contractiestelling (ook wel vast-puntstelling) van Banach luidt als volgt: laat f een afbeelding zijn van een gesloten deelruimte D van een metrische ruimte M waarin voor q<1, x1 en x2 uit D en de afstandsfunctie d in M (de metriek) een contractie wordt gedefinieerd door d(f(x1),f(x2))<q*d(x1,x2), dan is er in D precies één punt x0 (een vast punt genoemd) met de eigenschap x0=f(x0).
Veronderstel dat we een rij x in D hebben met de eigenschap x(n+1)=f(x), dan geldt: d(x,x(n+1))<q^(n-1)*d(x(1),x(2)). Voor een gegeven p geldt dan: d(x,x(n+p))<(q^n+p-2+...+q^n-1)d(x(1),x(2)). Voor 0<q<1 levert dit op:
d(x,x(n+p))<q^(n-1)*d(x(1),x(2))/(1-q), zodat x een cauchyrij is met een vast punt x(0) als limietwaarde. Laten we in de voorgaande uitdrukking p naar oneindig gaan, dan vinden we: d(x(0),x)<q^(n-1)*d(x(1),x(2))/(1-q) als afschatting voor de fout die we maken door x als benadering voor de oplossing x(0) van de vergelijking f(x)=x te kiezen.