[Wi] Reeksontwikkeling

[Daantje_0705]

Ik heb voor mijn examen net het hoofdstuk over reekstontwikkeling bestudeerd maar ik snap er helemaal niets van behalve de voorbeelden.

Kan iemand mij op een simpele manier proberen de formule van Taylor uit te leggen?

Daar valt toch niets aan uit te leggen? De definitie is de definitie.

Je kunt de Taylorreeksontwikkeling gebruiken om een functie te benaderen in de buurt van een vast punt. Meer termen -> betere benadering.

[Daantje_0705]

Maar hoe pas je dan die formule van Taylor toe op een gegeven functie. Ik snap er echt niets van dus ga er niet vanuit dat ik er ook maar iets van begrijp.

Weet je hoe de Sigma-notatie werkt?

[Daantje_0705]

Mephostophilis schreef op 17-01-2005 @ 18:52 :
[afbeelding]

Weet je hoe de Sigma-notatie werkt?

Dat weet ik ja, alleen mijn Engels is bagger maar ik ga kijken of ik het snap.

Dankjewel iig

Daantje_0705 schreef op 17-01-2005 @ 20:02 :
Dat weet ik ja, alleen mijn Engels is bagger maar ik ga kijken of ik het snap.

Dankjewel iig

Als je de termen uitschrijft krijg je dus:

Taylorpolynoom van f rond x = a:

f(a) + f'(a)(x-a) + f"(a)(x-a)²/2 + f'''(a)(x-a)³/6 + ....

Je hoeft dus alleen maar de afgeleiden te berekenen.

Simpel voorbeeldje: reeksontwikkeling voor e^x rond x=0

f(0) + f'(0)(x) + f"(0)(x)²/2 + f'''(0)(x)³/6 + ....

Vul in x=1 en je krijgt een (langzaam convergerende) benadering voor het getal e:

1 + 1 + 1/2 + 1/6 + ...

[Integer]

Vind je dit niet prachtig nu?

[mathfreak]

Daantje_0705 schreef op 17-01-2005 @ 18:43 :
Maar hoe pas je dan die formule van Taylor toe op een gegeven functie. Ik snap er echt niets van dus ga er niet vanuit dat ik er ook maar iets van begrijp.

Ik zal het toelichten aan de hand van de sinusfunctie: zoals je weet is de afgeleide van sin(x) gelijk aan cos(x), en de afgeleide van cos(x) is weer
-sin(x). Laat f de sinusfunctie zijn en laat a het punt zijn waar je een reeksontwikkeling om a voor wilt opstellen. Er geldt: f'(x)=cos(x) en
f"(x)=-sin(x)=-f(x), dus f⁽³⁾(x)=-f'(x)=-cos(x) en f⁽⁴⁾(x)=-f"(x)=sin(x)=f(x). Zoals je ziet zit er een regelmaat in de (hogere) afgeleiden van sin(x), en je kunt zelf afleiden dat voor cos(x) iets soortgelijks het geval is. Voor de sinusfunctie krijg je nu de volgende Taylorreeks om x=a:
f(x)=f(a)+(x-a)/1!*f'(a)+(x-a)²/2!*f"(a)+(x-a)³/3!*f⁽³⁾(a)+...
+(x-a)ⁿ/n!*f⁽ⁿ⁾(a)+...=f(a)+(x-a)/1!*f'(a)-(x-a)²/2!*f(a)-(x-a)³/3!*f'(a)+...
+(x-a)ⁿ/n!*f⁽ⁿ⁾(a)+...
Merk op dat ik voor het omschrijven van de Taylorreeks gebruik heb gemaakt van het feit dat de tweede en de hogere afgeleiden uit te drukken zijn in f(x) en/of f'(x).
Opmerking: voor a=0 gaat de Taylorreeks over in de reeks van MacLaurin. Mephostophilis gaf als voorbeeld al de MacLaurinreeks voor e^x.