Help help!

[lella_fatoesha]

kijk ik moet opzoeken waarvoor pi wordt gebruikt, dus de toepassing. maar ik heb tot nu toe in de les alleen maar over de cirkel gehad. soms vind ik wel dingen maar die zijn echt veelste ingewikkelt! kijk:

Dit is opmerkelijk: oppervlakte en omtrek hebben in eerste instantie namelijk niets met elkaar te maken. In deze paragraaf willen we aangeven waarom oppervlakte = pr2. We hebben hiervoor het principe van Archimedes nodig, dat zegt dat we cirkels met veelhoeken kunnen benaderen. (We hebben de methode van Archimedes al besproken en uitgewerkt bij het onderdeel “Berekeningen”.)

Verder hebben we de oppervlakteformule voor een driehoek nodig:





opp = basis x ½ hoogte















Om de oppervlakteformule te zien, kunnen we het bovenstuk van de driehoek uitklappen en vervolgens de oppervlakte van de zo ontstane rechthoek uitrekenen:






Bovenstaand meetkundig argument gaat alleen op als de beide liggende hoeken van de driehoek kleiner dan 90 graden zijn. Dat is hier het geval.

Nu nemen we een omgeschreven veelhoek van een cirkel met straal r in gedachten.

Het leuke van het argument dat komen gaat, is dat deze veelhoek helemaal niet regelmatig hoeft te zijn. We kunnen een willekeurige omgeschreven veelhoek nemen, en de enige voorwaarde is dat de zijden aan de cirkel raken. In het volgende plaatje hebben we een omgeschreven zevenhoek genomen:






Tevens hebben we de zevenhoek in driehoeken opgedeeld en de hoogtelijn van elke driehoek met een stippellijn aangegeven. De hoogte van elke driehoek is natuurlijk r. De basis van elke driehoek is een van de zijden van de zevenhoek. De oppervlakte van de zevenhoek is gelijk aan de gezamenlijke oppervlakte van de driehoeken. Dat wil zeggen r/2 maal de som van de bases van de driehoeken. De som van de bases van de driehoeken is juist precies de omtrek van de zevenhoek.

We concluderen dus,



Oppervlakte = ½ r x omtrek



Hopelijk is het duidelijk dat deze uitspraak waar is voor elke omgeschreven veelhoek, niet alleen de zevenhoek die we net schetsten. Dus ook voor de veelhoeken die steeds meer op een cirkel lijken. Laten we nu Archimedes’ principe toepassen dat zegt dat omtrek en oppervlak van veelhoeken die steeds meer op een cirkel lijken in waarde naar omtrek en oppervlak van de cirkel gaan. Dan geldt ook voor de cirkel dat oppervlakte = ½ r x omtrek. Gebruiken we nu omtrek = 2pr dan volgt hieruit:



oppervlakte = p r2



En dit is precies wat we wilden!



De kegel:

Kegels bestaan in alle soorten en maten: kies in het platte vlak een willekeurige figuur G. Kies boven dat vlak een punt T. Trek nu van elke punt van G een rechte lijn naar T. Deze lijnen zullen een figuur opvullen die we de kegel met grondvlak G en top T noemen. Een voorbeeldkegel:






De afstand van de top tot het vlak waarin het grondvlak ligt noemen we de hoogte van de kegel. We geven die met de letter h aan. De inhoudsformule voor de kegel gaat als volgt:



Inhoud kegel = 1/3h x oppervlakte G



Deze formule lijkt een beetje op die voor de oppervlakte van een driehoek.

De basis van een driehoek kunnen we namelijk ook zien als een grondvlak van de driehoek, maar dan 1-dimensionaal. Verder is de factor ½ veranderd in 1/3.

Dit heeft te maken met het feit dat een kegel 3-dimensionaal object is, en de driehoek een 2-dimensionaal object. Het bewijs van de juistheid van de inhoudsformule van de kegel is een stuk ingewikkelder dan de oppervlakteformule voor een driehoek. We konden de driehoek in stukken opdelen zodat deze na het omklappen een rechthoek opleverde. Daardoor kon de oppervlakte berekend worden. Dit kan niet bij een kegel. In het algemeen kunnen we een kegel niet in stukken opdelen zodat ze na herschikking bijvoorbeeld een rechthoekig blok opleveren. Dit gaat zelfs niet bij een eenvoudige figuur als de piramide (een kegel met een vierkant als grondvlak). De reden hiervoor is niet dat we daar te dom voor zijn. Het blijkt gewoon een onmogelijkheid. Het kan gewoon niet. Misschien dat je ooit eens een afleiding van de inhoud van een kegel hebt gezien met “knippen & plakken”. Maar zeer waarschijnlijk gebeurt daar iets extra’s waardoor het niet alleen maar knippen en plakken is. De enige manier om toch een inhoud van een kegel te krijgen is met behulp van een redenatie waarin een limiet wordt gebruikt. De differentiaal- en integraalrekeningen zijn daar voorbeelden van. Het volgt een argument om de inhoud van een kegel te bepalen.



Gegeven is een kegel met hoogte h, oppervlakte grondvlak G en volume V. We vergroten de kegel vanuit de top met een factor ג die iets groter is dan 1.

Aan het eind van onze argumentatie zullen we ג↓1 nemen. Het symbool ג is trouwens de Griekse letter l. In de wiskunde worden vaak Griekse letters voor getallen gebruikt. Dat zie je al aan p, de Griekse letter p.

Na vergroting hebben we een nieuwe kegel met hoogte ג h, grondvlak ג2G en volume

ג3V. Hier is een plaatje van de oorspronkelijke kegel en de uitvergrote kegel in een:






Het verschil tussen deze twee kegels is een soort plak met hoogte



ג h –h = (ג -1)h



oppervlak van de onderkant ג2G en oppervlakte bovenkant gelijk aan G.






Het volume van deze plak ligt dus tussen:



(ג -1)h x G en (ג -1)h x ג G



Anderzijds is het volume van de plak gelijk aan het verschil:



ג3V – V = (ג3-1)V



Dus:



(ג -1)hG ≤ (ג3-1)V ≤ (ג -1)ג2hG



Deel nu alle termen door het positieve getal ג -1 en gebruik in de middelste term dat



ג3-1/ג -1 = 1+ ג + ג2



We vinden:



hG ≤ (1+ ג + ג2)V ≤ ג2hG



Laat nu ג naar 1 dalen, dan:



hG ≤ 3V ≤ hG



Met andere woorden, 3V is zowel groter als kleiner of gelijk aan hG.



Conclusie: 3V = hG en onze formule V = 1/3hG volgt.



Van kegel naar bol:

Het klinkt misschien als een verrassing, maar nu we weten wat de inhoud van een kegel is, kunnen we tevens de inhoud van een bol bepalen. Archimedes had hiervoor een zeer doeltreffend argument. In deze paragraaf gebruiken we een variant van Archimedes’ argumentatie. We nemen twee cilinders, elk met een straal van r en hoogte r. In de ene denken we ons een halve bol, in een andere een kegel waarvan de top midden op de bodem van de cilinder ligt en het grondvlak het bovenste vlak van de cilinder is:


ik snap niet wat dat met pi te maken heeft. ik zit nu in de 2e dus ik kan moeilijk komen aanzetten met allemaal berekeningen van 6vwo. dus zou iemand kunnen uitleggen waar pi voor word gebruikt??? (liefst nog links over te toepassingen)

alvast bedankt.

Google?

En was hier niet al een topic over?

Anyways... toepassingen:

- Berekenen oppervlakten
- Berekenen volumes
- Fourieranalyse
- Goniometrie
- Berekenen reeksen
etc. etc. etc.

[lella_fatoesha]

Mephostophilis schreef op 18-01-2005 @ 21:50 :
Google?

En was hier niet al een topic over?

Anyways... toepassingen:

- Berekenen oppervlakten
- Berekenen volumes
- Fourieranalyse
- Goniometrie
- Berekenen reeksen
etc. etc. etc.

ja ik weet het ik heb al eerder zo'n topic geopent..

http://www.pythagoras.nu/mmmcms/public/archief254.html

Ik ben te behulpzaam.

(ook al kostte dit me 2 minuten)

[SCS]

lella_fatoesha schreef op 18-01-2005 @ 21:55 :
ja ik weet het ik heb al eerder zo'n topic geopent..

Al 2 keer geloof ik

Ontopic:
Op deze site staat ook wel wat info die je wellicht kunt gebruiken.

Voortaan mag het ook wel allemaal bij elkaar in 1 topic

[Fatality]

Ik dacht even dat je dit zelf uit had gevogeld... voor de 2de , respect