wiskunde

[tiger31]

Hey,

kan iemand mij helpen met een wiskunde opgave?

Opgave:

Veronderstel volgende functies: f(z)=(z+1)^(6n+1)-z^(6n+1)-1 en g(z)=z²+z+1.
Bewijs nu da f(z) deelbaar is door g(z).

Tip: zoek de wortels van z²+z +1=0, zet ze in goniometrische gedaante en toon aan dat ze voldoen aan f(z)=0

Tot de tip ben ik er geraakt, maar hoe het verder moet weet ik niet.

Grts

[mathfreak]

tiger31 schreef op 02-03-2005 @ 14:43 :
Hey,

kan iemand mij helpen met een wiskunde opgave?

Opgave:

Veronderstel volgende functies: f(z)=(z+1)^(6n+1)-z^(6n+1)-1 en g(z)=z²+z+1.
Bewijs nu da f(z) deelbaar is door g(z).

Tip: zoek de wortels van z²+z +1=0, zet ze in goniometrische gedaante en toon aan dat ze voldoen aan f(z)=0

Tot de tip ben ik er geraakt, maar hoe het verder moet weet ik niet.

Grts

Laten we eens kijken hoe die wortels er precies uitzien. Er geldt: z²+z+1=z²+z+1/4+3/4=(z+1/2)²+3/4. Stel dit nul, dan geldt: (z+1/2)²=-3/4=3/4*i², dus z+1/2=1/2*i*sqrt(3) of z+1/2=-1/2*i*sqrt(3), dus z=-1/2+1/2*i*sqrt(3) of z=-1/2-1/2*i*sqrt(3). Merk op dat dit de complex geconjugeerde wortels van de vergelijking z³-1=0 zijn. Merk voorts op dat z+1 een wortel van de vergelijking w³+1=0 voorstelt. Dit betekent dat geldt: (z+1)^6*n+1=(z+1)^6*n(z+1)=[(z+1)³]^2*n(z+1)=(-1)^2*n(z+1)=z+1
en z^6*n+1=z^6*n*z=[z³]^2*n*z=1^2*n*z=z.