fles met oneidig oppervlakte en beperkte inhoud.

[Supersuri]

Mijn wiskunde leraar had het hier over. Het is een probleem dat te maken heeft met intergreren.

Je tekende een grafiek in een flesvorm, (dacht de lijn van ln(x), maar weet niet zeker) en die intergreerde je van 0 tot oneindig. Daar kwam dan oneindig uit maar uit het omwentelinslichaam kwam 2pi geloof ik. Weet iemand hoe dit probleem in elkaar zat en zou die de uitwerking kunnen posten?

(Want het was wel apart en niet wat ik verwacht had, dacht namelijk dat de inhoud ook wel oneindig zou zijn)

[IvdSangen]

De integraal is dan toch niet de oppervlakte van de fles?

[GinnyPig]

Bekijk de functie 1/x maar. Integreren hiervan, van 1 tot oneindig levert: lim_x->oneindig Log[x] - Log[1], wat oneindig oplevert en overeenkomt met de oppervlakte (op een factor 2pi na).

Als je de functie eerst kwadrateert, en vervolgens integreert krijg je juist: lim_x->oneindig -1/x + 1/1 = 1, wat overeenkomt met het volume.

Dus ja, het oppervlakte is oneindig, maar de inhoud niet.

[Supersuri]

GinnyPig schreef op 27-03-2005 @ 19:58 :
Bekijk de functie 1/x maar. Integreren hiervan, van 1 tot oneindig levert: lim_x->oneindig Log[x] - Log[1], wat oneindig oplevert en overeenkomt met de oppervlakte (op een factor 2pi na).

Als je de functie eerst kwadrateert, en vervolgens integreert krijg je juist: lim_x->oneindig -1/x + 1/1 = 1, wat overeenkomt met het volume.

Dus ja, het oppervlakte is oneindig, maar de inhoud niet.

Oja dat was hem. Zit je dan trouwens niet met het limiet omdat 1/x bij x=0 geen uitkomst heeft?

[Supersuri]

Supersuri schreef op 27-03-2005 @ 20:21 :
Oja dat was hem. Zit je dan trouwens niet met het limiet omdat 1/x bij x=0 geen uitkomst heeft?

Ow sorry stom natuurlijk, je kijkt waar de primitieve x= 0 is.

Je kunt dit begrijpen door je een wiskundige voorstelling te maken van wat het voorstelt waar je mee bezig bent. Je kunt een oppervlakteintegraal beschouwen als een soort laag verf die je over het oppervlak smeert. Maar een oppervlakte-element heeft altijd een eindige (doch in de limiet infinitesimale) 'dikte'. Als je echter het volume bepaalt, kun je met de volume-elementen als het ware de oneindig lange 'punt' opvullen.

Vergelijk het met een oneindig lange frietzak, met een punt die steeds (maar wel snel 'genoeg') nauwer wordt. Als je de oneindige lange frietzak probeert te verven gaat dat niet, omdat de zak oneindig lang is. Maar als je hem vult met frieten blijven de frieten steken in de zak omdat ze te dik zijn en kan de zak wel gevuld worden.

[mathfreak]

Supersuri schreef op 27-03-2005 @ 20:25 :
Ow sorry stom natuurlijk, je kijkt waar de primitieve x= 0 is.

En ook dan heb je een probleem, aangezien ln(x), de primitieve van 1/x, voor x=0 niet gedefinieerd is. Als je echter net als GinnyPig de integraal van 1 tot oneindig beschouwt zul je zien dat de integraal van 1/x divergent is (de limiet gaat naar oneindig), maar dat de integraal van 1/x² convergent is, omdat de limiet dan naar 1 gaat.