[WI] Goniometrie II

[Porcelain]

Omdat ik het écht niet alleen kan=).

Ik moet goniometrische functies differentiëren en daarna de afgeleide vergelijken met nul (want toppen berekenen). Ik heb wat gedaan, maar kom niet verder dan wat ik hier beneden heb opgeschreven. Iemand die me verder kan helpen?

Hiervoor de volgende gegevens nodig:
f (x) = sinx --> f (x) = cosx
f (x) = cosx --> f'(x) = -sinx
en ook die somformules: Formulekaart

f (x) = 4sin(2x-Pi/4) + 10
afgeleide volgens mij:
f' (x) = 8cos(2x-Pi/4)
poging tot toppen berekenen:
8cos(2x-Pi/4)=0
in cosx=0 is x=Pi dus:
2x-Pi/4= Pi
2x= 5Pi/4
x= 5Pi/8
dus de top zit op (5Pi/8 ; -0,835)
Maar volgens mij klopt dit niet.

f (x) = (sinx)/(1+cosx)
Ik probeerde de afgeleide te nemen m.b.v. quotientregel, maar ik kwam uit op:
f'(x) = (cosx^2-2sinx) / (1+cosx)^2
vereenvoudigd: (-2sinx) / (1+2cox)
Meer kon ik er niet van maken, maar dit klopt niet.
En vergelijken met nul al helemaal niet.

Vast bedankt!

[I-brahimovic]

Porcelain schreef op 08-06-2005 @ 18:44 :
Omdat ik het écht niet alleen kan=).

in cosx=0 is x=Pi dus:

Dit klopt niet. cos(x) = 0 voor x = pi/2 (+ k.pi)

f (x) = 4sin(2x-Pi/4) + 10
afgeleide volgens mij:
f' (x) = 8cos(2x-Pi/4)
poging tot toppen berekenen:
8cos(2x-Pi/4)=0
in cosx=0 is x=Pi dus:
2x-Pi/4= Pi
2x= 5Pi/4
x= 5Pi/8
dus de top zit op (5Pi/8 ; -0,835)
Maar volgens mij klopt dit niet.

Klopt inderdaad niet, omdat uit cos x = 0 volgt x = pi/2 + 2k*pi, met k een integer en x de x-coördinaat van het maximum.

Hieruit volgt:

cos(2x - pi/4) = 0
2x - pi/4 = pi/2
x = 3pi/8 + 2k*pi

---

f(x) = sin x/(1+cos x)
f'(x) = (cos x(1+cos x) + sin² x)/(1+cos x)² (quotiëntregel)
f'(x) = (1+cos x)/(1+cos x)² (via sin² x + cos² x = 1)
f'(x) = 0 = 1 + cos x
cos x = -1
x = pi + 2k*pi

[sdekivit]

de eerste:

f(x) = 4 sin (2x - pi/4) + 10

hiervoor moet je de kettingregel gebruiken (en natuurlijkde somregel maar de afgeleide van 10 is 0)

--> f ' (x) = 4 cos (2x - pi/4) * 2

dus: f ' (x) = 8 cos (2x - pi/4)

gelijk stellen aan nul levert dan:

cos (2x - pi/4) = 0

--> 2x - pi/4 = 1/2 pi + k * 2pi \/ 2x - pi/4 = -1/2 pi + k * 2pi

--> 2x = 3/4 pi + k * 2pi \/ 2x = -1/4 pi + k * 2pi

--> x = 3/8 pi + k * pi \/ x = -1/8 pi + k * pi

de tweede:

f(x) = sin x / (1 + cos x)

doen we even met de quotientregel:

f ' (x) = cos x * ( 1 + cos x) - sin x * -sin x / (1 + cos x)²

veereenvoudigen:

f ' (x) = cos x + cos²x + sin²x / (1+cos x)²

en aangezien sin²x + cos²x = 1 krijgen we:

cos x + 1 = 0

--> cos x = -1

--> x = pi + k * 2pi \/ x = -pi + k * 2pi

en omdat deze antwoorden voor x dezelfde waarden opleveren krijgen we als oplossing:

x = pi + k * 2pi
maar omdat dit in alle gevallen 0/0 oplevert kun je dit geen maxima noemen.

[TD]

sdekivit schreef op 08-06-2005 @ 19:09 :
f ' (x) = cos x * ( 1 + cos x) - sin x * -sin x / (1 + cos x)²
veereenvoudigen:
f ' (x) = cos x + cos²x + sin²x / (1+cos x)²
en aangezien sin²x + cos²x = 1 krijgen we:
cos x + 1 = 0
--> cos x = -1
--> x = pi + k * 2pi \/ x = -pi + k * 2pi
en omdat deze antwoorden voor x dezelfde waarden opleveren krijgen we als oplossing:
x = pi + k * 2pi
maar omdat dit in alle gevallen 0/0 oplevert kun je dit geen maxima noemen.

Volgens mij vergeet je bij f(x)' enkele keren haakjes in de teller. De afgeleide is dan ook gelijk aan 1/(cosx+1) en niet aan cosx+1. De afgeleide kan bijgevolg nooit 0 worden dus er zijn geen extremen.


Wat oef 1 betreft, bij cos (2x - pi/4) = 0 zou ik verder gaan met:
2x - pi/4 = pi/2 + k*pi
2x = 3pi/4 + k*pi
x = 3pi/8 + k*pi/2

Dan heb je geen geval-opsplitsing nodig.

[Porcelain]

Dit klopt niet. cos(x) = 0 voor x = pi/2 (+ k.pi)

Wat ben ik een schaapskop.

f ' (x) = cos x + cos2x + sin2x / (1+cos x)2

en aangezien sin2x + cos2x = 1 krijgen we:

cos x + 1 = 0

--> cos x = -1

--> x = pi + k * 2pi \/ x = -pi + k * 2pi

Hm, hier geldt dus dat je bij een vergelijking met delen alleen de teller hoeft te vergelijken? Was ik vergeten .

dat wordt nooit een voldoende voor de goniometrietoets..

In ieder geval weer hartstikke bedankt!

[TD]

Een breuk is 0 wanneer de teller 0 is en de noemer verschillend van 0.

Hier is dat echter niet van toepassing, zie mijn bovenstaande reply.
De afgeleide is 1/(1+cosx) en die wordt nooit 0.

In de gevallen die sdekivit op het einde beschrijft wordt de noemer 0, niet de breuk (en dus ook niet de afgeleide). Je zit er bijgevolg met verticale asymptoten ipv met extrema.

[Porcelain]

Volgens mij vergeet je bij f' enkele keren haakjes in de teller. De afgeleide is dan ook gelijk aan 1/(cosx+1) en niet aan cosx+1. De afgeleide kan bijgevolg nooit 0 worden dus er zijn geen extremen.

Oef ik zie het, de haakjes.
Maar wat raar dat ze een oefening maken met 'geef extremen' terwijl die er dan niet kunnen zijn.. nog raarder dat mijn GR toch echt extremen laat zien, dat dit een sinusoïde is en die toch altijd extremen hebben. Kortom, het is me niet zo duidelijk. Of kun je de extremen gewoon niet algebraïsch berekenen?

[TD]

Porcelain schreef op 08-06-2005 @ 19:28 :
Oef ik zie het, de haakjes.
Maar wat raar dat ze een oefening maken met 'geef extremen' terwijl die er dan niet kunnen zijn.. nog raarder dat mijn GR toch echt extremen laat zien, dat dit een sinusoïde is en die toch altijd extremen hebben. Kortom, het is me niet zo duidelijk. Of kun je de extremen gewoon niet algebraïsch berekenen?

Het is helemaal geen sinusoïde en hoezo zie jij extrema?
De grafiek lijkt zeer sterk op y = tan x (vermits dat sinx/cosx is en het hier om sinx/(1+cosx) gaat) en die heeft toch ook geen extrema?

[Porcelain]

Het is toch een sinusoïde als hij in de volgende formule past:
y=B+Asin(2Pi/P(x-c))

En wanneer ik die formule, 4sin(2x-Pi/4)+10 in mijn rekenmachine zet zie ik een sinusoïdevorm. Ik als amateur nam dus maar aan dat het wel zo zou zijn.. (ik zie dus ook toppen en dalen)

[TD]

Toen ik het over sinx/(1+cosx) had ging het uiteraard over de 2e
Het was ook daarover dat ik sdekivit quote ivm die afgeleide die niet 0 werd.

De eerste is inderdaad sinusoidaal, maar daar vonden we ook extrema

[Porcelain]

Aah, ik kijk echt met mijn neus.
Wordt ook zó duizelig van die getalletjes.. .

Nog een vraagje: volgens mijn antwoordenblad is de afgeleide van:
f (x) = sin^2x+sinx
als volgt:
f' (x) = 2sinxcosx+cox

Ik snap niet waarom ze daar 2sinx behouden. Ik kwam zelf op:
2cosx * cosx + cosx. En dat leek míj volkomen logisch .

[TD]

Kettingregel toepassen en niet vergeten dat sin²x eigenlijke een 'verkorte notatie' is voor (sinx)² zodat je het niet zou verwarren met sin(x²).

((sinx)²+sinx)' = ((sinx)²)' + (sinx)' = 2sinx*(sinx)' + cosx = 2sinx*cosx + cosx.

Die 2sinxcosx kun je overigens eventueel nog vervangen door sin(2x)

[Porcelain]

Oké, ik zie het. Bedankt! Verhelderend.

[Porcelain]

ik blijf er nu op steken, het vergelijken met nul.
2sin cosx + cosx = 0
wordt
sin2x + cosx = 0

Ik weet niet waar ik naar moet zoeken, gok steeds maar wat met die somformule's en kom niet goed uit..

TD schreef op 08-06-2005 @ 19:26 :
De afgeleide is 1/(1+cosx) en die wordt nooit 0.

Dat klopt niet, de afgeleide is (volgens mijn berekening) (1+cos x)/(1+cosx)² en dat wordt wel degelijk nul, namelijk als cos x = -1.

Porcelain schreef op 08-06-2005 @ 21:22 :
ik blijf er nu op steken, het vergelijken met nul.
2sinx cosx + cosx = 0
wordt
sin2x + cosx = 0

Ja, maar daar heb je niets aan.

2sinx cosx + cosx = 0
2sinx = -1 (voor cos x =/= 0)
sin x = -1/2
x = -pi/6 + 2k*pi

Edit: ook nog de oplossing 7pi/6 + 2k*pi en de oplossingen voor cos x = 0.

[I-brahimovic]

Als je bedoelt 2sin(x)cos(x) + cos(x) = 0, dan is de oplossing:

2sin(x)cos(x) + cos(x) = 0 dus cos(x) (2sin(x) + 1) = 0
geeft cos(x) = 0 of 2 sin(x) + 1 = 0. Dit uitwerken geeft x = pi/2 + k.pi of sin(x) = -0.5 ==> x = 7/6 pi + k . 2 pi of x = 11/6 pi + k . 2 pi

[sdekivit]

Mephostophilis schreef op 08-06-2005 @ 22:16 :
Dat klopt niet, de afgeleide is (volgens mijn berekening) (1+cos x)/(1+cosx)² en dat wordt wel degelijk nul, namelijk als cos x = -1.

ben het met je eens

doen we hem even met de productregel:

f(x) = sinx / (1 + cosx) = sinx * (1+cosx)^-1

f ' (x) = cos x /(1 + cos x) + [sin x * -1(1 + cos x)^-2 * -sin x]

f ' (x) = cosx / (1 + cos x) + sin^2 (x) / (1 + cosx)^2

f ' (x) = cosx (1 + cosx) / (1 + cosx)^2 + sin^2x / (1 + cosx)^2

f ' (x) = cosx + cos^2 (x) + sin^2(x) / (1+cosx)^2

f ' (x) = cosx + 1 / (1 + cosx)^2

[Keith]

Mephostophilis schreef op 08-06-2005 @ 22:16 :
Dat klopt niet, de afgeleide is (volgens mijn berekening) (1+cos x)/(1+cosx)² en dat wordt wel degelijk nul, namelijk als cos x = -1.

Als cos x = -1 krijg je dan toch (1-1)/(1-1)² = 0/0 is ongedefinieerd, toch? De limiet nadert wel nul, maar als je dan toppen gaat berekenen, kom je er toch niet op uit dat in dat punt een top zit, of wel?

Ik snap niet waarom (1+cos x)/(1+cos x)² anders zou zijn dan 1/(1+cosx).

[sdekivit]

btw TD : (cosx + 1) / (1+cosx)^2 = 1 / (cosx + 1) hoor maar je hebt gelijk: in de teller moeten haakjes staan. Was weer eens lui

Keith schreef op 08-06-2005 @ 22:34 :
Als cos x = -1 krijg je dan toch (1-1)/(1-1)² = 0/0 is ongedefinieerd, toch? De limiet nadert wel nul, maar als je dan toppen gaat berekenen, kom je er toch niet op uit dat in dat punt een top zit, of wel?

Ik snap niet waarom (1+cos x)/(1+cos x)² anders zou zijn dan 1/(1+cosx).

Ja, klopt. My bad, ik had niet naar de waarde van de noemer gekeken.

Overigens zit er wel degelijk een verschil tussen.

Kijk bijvoorbeeld naar de functies f(x) = x en g(x) = x²/x. Deze zijn niet hetzelfde, want in x=0 is f(x) wel gedefinieerd en g(x) niet.

[Keith]

Ja dat is waar, want om de (cos x + 1) in de functie weg te strepen moet je ervan uitgaan dat (cos x + 1) niet gelijk is aan nul.

Moet wel voorzichtig blijven met wiskunde he.

[sdekivit]

Mephostophilis schreef op 08-06-2005 @ 22:20 :
Ja, maar daar heb je niets aan.

2sinx cosx + cosx = 0
2sinx = -1 (voor cos x =/= 0)
sin x = -1/2
x = -pi/6 + 2k*pi

Edit: ook nog de oplossing 7pi/6 + 2k*pi en de oplossingen voor cos x = 0.

tuurlijk krijg je de oplossing van cos x = 0

is veel 'veiliger' door cos x buiten haakjes te halen:

cosx * (2sinx + 1) = 0

--> cosx = 0 \/ 2 sin x = -1

[TD]

@Meph: ik heb het misschien wat overhaast en onvoorzichtig aangepakt door de factor (1+cosx) in teller en noemer te schrappen, maar zoals reeds aangegeven geeft ook (1+cosx)/(1+cosx)² geen aanleiding tot nulpunten, ook niet voor x = -1.

[sdekivit]

TD schreef op 08-06-2005 @ 23:13 :
@Meph: ik heb het misschien wat overhaast en onvoorzichtig aangepakt door de factor (1+cosx) in teller en noemer te schrappen, maar zoals reeds aangegeven geeft ook (1+cosx)/(1+cosx)² geen aanleiding tot nulpunten, ook niet voor x = -1.

ik he altijd geleerd om gewoon de afgeleide 0 te stellen en als je te maken hebt met een quotient altijd je x-waarden controleren of de x-waarden wel als maxima bestaan. In dit geval leveren de oplossingen altijd 0/0 en dus is er geen maximum.

[TD]

0/0 is een onbepaaldheid, je kan er dus niets uit besluiten. In de limiet kan het zijn dat dit 0 geeft, oneindig of eender welk reëel getal.