[WIS]Meetkunde

[Pyromaniac]

Ik had een vraag over wiskunde:
Er is een cilinder getekend die een straal heeft van 3 cm. Daarin zijn 3 knikkers gelegd die er precies inpassen. (mercedes-ster). Dan is de vraag: toon aan dat de straal van de knikkers 1,39 cm bedraagt (afgerond).
Alleen ik snap niet hoe ze hieraan komen .
Kan iemand me helpen? Bedankt

edit:


daarin zijn dan de kleine de knikkers en de grote is de cilinder

Ik heb wel eens met zo'n cirkel-driehoek gerekend, ik zal het eens opzoeken.



Kan je daar iets mee?

[Pyromaniac]

Snees schreef op 08-12-2005 @ 19:05 :
Ik heb wel eens met zo'n cirkel-driehoek gerekend, ik zal het eens opzoeken.

[afbeelding]

Kan je daar iets mee?

nou, nee...
Ik was wat lijnen aan het tekenen, maar vind nou nergens een lijn die alleen de knikker bedekt en waarvan je de lengte weet. Omdat als je een lijn tekent vanuit het middelpunt van de cilinder naar buiten toe, dan neem je dus een gedeelte leegte mee. Ik heb idd wel een 90,60,30 graden driehoek getekent en met goniometrie wat zitten rekenen, maar kwam alleen wat onzin uit.
Het moet ook (een gedeelte) met goniometrie (ging die paragraaf over )

[blablalou]

hallo P...c,

Neem uit de gelijkzijdige driehoek een rechthoekige driehoek met
=> bij middelp knikker de hoek van 30
=> bij middelp cylinder de hoek van 60
Trek ook de straal middelp cylinder door middelp knikker
Noem straal knikker x

Zo... Nu geldt: x + x*(2/sqrt(3)) moet 3.00 zijn.
Dus x = 1.395

[Al Murphy]

Dat is een leuke.

Ik kan hier niet tekenen, dus ik probeer de werkwijze te beschrijven.

In je tekening verbind je de middelpunten van de drie cirkels.
x: afstand van een hoekpunt van de driehoek tot het middelpunt van de driehoek.
r: straal van kleine cirkel.
r2: gegeven straal van de grote cirkel.

Je weet:
r2 = x + r

Teken ook even de drie loodlijnen van de driehoek. Je krijgt dan 6 aparte en even grote rechtohoekige driehoeken. De kleinste hoek van zo'n driehoek heeft hoek a.

sin a = r/2r = 1/2 => a = pi/6 > cos a = wortel(3)/2
cos a = r/x

Hieruit haal je: wortel(3)/2 = r/x of wortel (3)/2 = r/(3-r)

En hieruit volgt: r = 1,39

[Pyromaniac]

Al Murphy schreef op 08-12-2005 @ 20:05 :
Dat is een leuke.

Ik kan hier niet tekenen, dus ik probeer de werkwijze te beschrijven.

In je tekening verbind je de middelpunten van de drie cirkels.
x: afstand van een hoekpunt van de driehoek tot het middelpunt van de driehoek.
r: straal van kleine cirkel.
r2: gegeven straal van de grote cirkel.

Je weet:
r2 = x + r

Teken ook even de drie loodlijnen van de driehoek. Je krijgt dan 6 aparte en even grote rechtohoekige driehoeken. De kleinste hoek van zo'n driehoek heeft hoek a.

sin a = r/2r = 1/2 => a = pi/6 > cos a = wortel(3)/2
cos a = r/x

Hieruit haal je: wortel(3)/2 = r/x of wortel (3)/2 = r/(3-r)

En hieruit volgt: r = 1,39

ok bedankt .
@bladablou: Ook bedankt, maar daar snap ik niet al teveel van

[blablalou]

hallo P...c,

Geeft niet... is manier van M...y, alleen ingedikt.

tweede poging:

1. loop van middelp cylinder naar middelp knikker naar raakpunt knikkers naar middelp cylinder.

2. Je voetstappen vormen dan de rechthoekige driehoek met hoeken van 60 en 30.

3. In het voorstudiehuistijdperk wist elke Beta dat de zijden van die driehoek zich verhouden als 1 : 2 : sqrt(3)

4. in deze driehoek is de r(knikker) =>sqrt(3)

5. midelp knikker tot middelp cylinder => 2

6. zo vind je dat x + x*(2/sqrt(3)) gelijk moet zijn aan 3

7. en heb je de uitkomst binnen 2 minuten...

[Pyromaniac]

blablalou schreef op 09-12-2005 @ 12:10 :
hallo P...c,

Geeft niet... is manier van M...y, alleen ingedikt.

tweede poging:

1. loop van middelp cylinder naar middelp knikker naar raakpunt knikkers naar middelp cylinder.

2. Je voetstappen vormen dan de rechthoekige driehoek met hoeken van 60 en 30.

3. In het voorstudiehuistijdperk wist elke Beta dat de zijden van die driehoek zich verhouden als 1 : 2 : sqrt(3)

4. in deze driehoek is de r(knikker) =>sqrt(3)

5. midelp knikker tot middelp cylinder => 2

6. zo vind je dat x + x*(2/sqrt(3)) gelijk moet zijn aan 3

7. en heb je de uitkomst binnen 2 minuten...

wat is sqrt ?
thx tough

Pyromaniac schreef op 09-12-2005 @ 18:45 :
wat is sqrt ?
thx tough

de wortel uit (square root)

[Pyromaniac]

Lucky Luciano schreef op 09-12-2005 @ 18:46 :
de wortel uit (square root)

oh ok, ( ), bedankt

[Pyromaniac]

Thx ik snap het (toch nog)
Ik had nog een andere vraag:
Je ziet in een figuur een cilinder, een kegel en een bol in elkaar getekend. Zelfde hoogte en zelfde straal.
Nu moet je de verhoudingen van de inhoud ten opzichte van elkaar berekenen.
Dit is wat ik uit heb gekregen:
Kegel:Bol:Cilinder
1/3*pi*r²*h:4/3*pi*r³i*r²*h
Dan de pi overal wegstrepen
1/3*r²*h:4/3*r³:r²*h
Dan * 3
r²*h:4r³:3r²h

Nu komt het moeilijkere gedeelte.
Omdat de hoogte gelijk is bij alles, is de hoogte van de bol gelijk aan 2 * de straal van de bol.
Dus h=2r
Hieruit volgt:

2r³:4r³:6r³
dan /r³
2:4:6
dan /2
1:2:3

Dus Kegel:Bol:Cilinder
1:2:3
Klopt dit?

[mathfreak]

Pyromaniac schreef op 10-12-2005 @ 16:06 :
Thx ik snap het (toch nog)
Ik had nog een andere vraag:
Je ziet in een figuur een cilinder, een kegel en een bol in elkaar getekend. Zelfde hoogte en zelfde straal.
Nu moet je de verhoudingen van de inhoud ten opzichte van elkaar berekenen.
Dit is wat ik uit heb gekregen:
Kegel:Bol:Cilinder
1/3*pi*r²*h:4/3*pi*r³:pi*r²*h
Dan de pi overal wegstrepen
1/3*r²*h:4/3*r³:r²*h
Dan * 3
r²*h:4r³:3r²h

Nu komt het moeilijkere gedeelte.
Omdat de hoogte gelijk is bij alles, is de hoogte van de bol gelijk aan 2 * de straal van de bol.
Dus h=2r
Hieruit volgt:

2r³:4r³:6r³
dan /r³
2:4:6
dan /2
1:2:3

Dus Kegel:Bol:Cilinder
1:2:3
Klopt dit?
:)

Dat klopt. Het is zelfs zo dat Archimedes met behulp van deze verhouding, en met de bekende inhoudsformules voor een cilinder en een kegel, op deze manier voor het eerst de inhoudsformule voor een bol met straal r wist af te leiden. De figuur waar je het over hebt stond overigens ook op de grafsteen van Archimedes afgebeeld.