Modulo rekenen

[Dr HenDre]

Ik heb maandag een toets en ik kom niet uit de volgende opdrachten (zoner rekenmachine)

4. De rest na deling van 8¹²² door 12 is gelijk
aan
(a) 2.
(b) 4.
(c) 6.

5. Het aantal inverteerbare elementen in
Z=35Z is gelijk aan
(a) 23.
(b) 24.
(c) 25.

6. In het 7-tallig stelsel is 121212121212
(a) deelbaar door 2 maar niet door 3.
(b) deelbaar door 3 maar niet door 2.
(c) deelbaar door 2 en 3.

7. Welk van de volgende beweringen is niet
waar.
(a) 19 | 1036 - 1.
(b) 13 | 1024 - 1.
(c) 12 | 1022 - 1.

8. Stel p en q zijn twee verschillende priemgetallen.
Voor elke a 2 Z geldt:
(a) a^pq = a mod pq.
(b) a^(p-1)(q-1)+1 = a mod pq.
(c) a^p+q-1 = a mod pq.

9. In het 7-tallig stelsel geldt dat (11)7 een
deler is van:
(a) (213212123341)7.
(b) (213212123342)7.
(c) (213212123344)7.

Het gaat me niet zozeer om de antwoorden maar hoe je t moet doen. Iemand die me met een van die sommen kan helpen

[EvilSmiley]

Ik doe ff de eerste om je op weg te helpen

De rest na deling van 8^ 122 door 12 is gelijk
aan
(a) 2.
(b) 4.
(c) 6.


8² mod (12) is als (64) mod 12 is als 4 mod (12)

dus 8^122 mod 12 is als 4^61

4^2 mod 12 = 16 mod 12 = als 4 mod 12

4 ^ 61 mod 12 = 4 ^1 mod 12

antwoord is dus 4, als ik geen fouten maak.
Hoop dat je het zo snapt, je moet even een trukje door te hebben.,.

[Dr HenDre]

heey dat had ik ook, alleen 61 kon je niet delen door 2, dus ik snapte niet hoe je verder moest, en nog steeds niet eigenlijk

4^2 mod 12 = 16 mod 12 = als 4 mod 12

4 ^ 61 mod 12 = 4 ^1 mod 12
deze overgang snap ik niet, hoezo is 4^61 mod 12 gelijk aan 4^1 mod 12

sterker nog 61 is priem, hoe ga je dan verdre?

[EvilSmiley]

Misschien ging ik een stap te snel, maar let op, je begrijpt:

4^2 mod 12 is als 4 mod twaalf, dus:


4^61 = 4^2*4^59=4^1*4^59=4^60
//mod12
analoog 4^61 mod 12 is als 4^1 mod 12.

en dan zijn alle machten van vier gereduceert en is de som opgelost en ben je blij,..

[Dr HenDre]

aahh dank je ik snap m

[Dr HenDre]

niemand die me wil helpen met andere sommen

[mathfreak]

Dr HenDre schreef op 16-12-2005 @ 20:00 :
Ik heb maandag een toets en ik kom niet uit de volgende opdrachten (zoner rekenmachine)

4. De rest na deling van 8¹²² door 12 is gelijk
aan
(a) 2.
(b) 4.
(c) 6.

Deze is al behandeld door EvilSmiley.

Dr HenDre schreef op 16-12-2005 @ 20:00 :
5. Het aantal inverteerbare elementen in
Z=35Z is gelijk aan
(a) 23.
(b) 24.
(c) 25.

Het gaat hier voor een gegeven a in 35Z om het vinden van een x in 35Z, die voldoet aan de vergelijking a*x=1 mod 35. Er moet gelden dat ggd(a,35) een deler is van 1. Dat betekent dat ggd(a,35)=1 en dat a geen deler is van 35. Aangezien 1, 5 en 7 de enige delers van 35 zijn vervallen die waarden voor a.
Voor een gegeven a met ggd(a,35)=1 is de vergelijking a*x=1 mod 35 te schrijven als a*x+35*y=1. Laat (x₀,y₀) een oplossing zijn, dan geldt: x=x₀ mod 35.

Dr HenDre schreef op 16-12-2005 @ 20:00 :
6. In het 7-tallig stelsel is 121212121212
(a) deelbaar door 2 maar niet door 3.
(b) deelbaar door 3 maar niet door 2.
(c) deelbaar door 2 en 3.

Bedenk dat het het 7-tallige getal 121212121212 decimaal wordt geschreven als 1*7¹¹+2*7¹⁰+1*7⁹+2*7⁸+1*7⁷+2*7⁶+1*7⁵+2*7⁴+1*7³+2*7²+1*7+2. Als dit getal door 2 en 3 deelbaar is, dan is het ook deelbaar door 6. Je moet dus onderzoeken of dit getal gelijk is aan 0 mod 2, 0 mod 3 of 0 mod 6. Er geldt: 7^x=1 mod 2 voor alle waarden van x. Tevens geldt: 7^x=1 mod 3 voor alle waarden van x, en 7^x=1 mod 6 voor alle waarden van x.

Dr HenDre schreef op 16-12-2005 @ 20:00 :
7. Welk van de volgende beweringen is niet
waar.
(a) 19 | 1036 - 1.
(b) 13 | 1024 - 1.
(c) 12 | 1022 - 1.

Als a|b waar is moet gelden: b=0 mod a. Je moet dus nagaan of 1036=1 mod 19, 1024=1 mod 13 of 1022=1 mod 12 waar is. Het blijkt dan dat 1022=1 mod 12 niet waar is, aangezien je bij een deling van een even getal door 12 nooit een oneven rest (in dit geval 1) kunt overhouden.

Dr HenDre schreef op 16-12-2005 @ 20:00 :
8. Stel p en q zijn twee verschillende priemgetallen.
Voor elke a 2 Z geldt:
(a) a^pq = a mod pq.
(b) a^(p-1)(q-1)+1 = a mod pq.
(c) aa^p+q-1 = a mod pq.

Stel m=p*q en ggd(a,m)=1, dan geldt: a^(p-1)(q-1)=1 mod m en a^p-1=1 mod p en a^q-1=1 mod q, met p en q priem en ggd(a,p)=1 en ggd(a,q)=1. Voor a in 2Z geldt: a=0 mod 2 of a=1 mod 2. Met behulp hiervan moet je er verder uit kunnen komen.

Dr HenDre schreef op 16-12-2005 @ 20:00 :
9. In het 7-tallig stelsel geldt dat (11)7 een
deler is van:
(a) (213212123341)7.
(b) (213212123342)7.
(c) (213212123344)7.

Merk op dat het het 7-tallige getal 11 gelijk is aan het decimale 1+7=8. Laat m de decimale weergave van een 7-tallig getal zijn, dan moet je dus nagaan of m=0 mod 8 geldt. Herschrijf de 7-tallige getallen als decimale getallen volgens de aanpak bij 6 en maak voor de reductie van machten van 7 modulo 8 gebruik van de eigenschap 7^2*m=1 mod 8 en 7^2*m+1=7 mod 8, met m geheel.

[Dr HenDre]

bedankt !!!

[mathfreak]

Dr HenDre schreef op 18-12-2005 @ 13:54 :
bedankt !!!

Graag gedaan.

Wat zijn dat voor rare vragen die je nooit nodig zult hebben in de praktijk?

[Integer]

Het feit dat jij gecodeerde berichten over het internet kunt versturen en dus veilig je creditcard kunt gebruiken via internet, is een gevolg van dit soort wiskunde.

[mathfreak]

Harmageddon schreef op 18-12-2005 @ 19:17 :
Wat zijn dat voor rare vragen die je nooit nodig zult hebben in de praktijk?

Jij zult deze stof waarschijnlijk ook niet nodig hebben, maar in de getaltheorie, een onderdeel van de wiskunde, komen dit soort kwesties regelmatig aan de orde, evenals in de discrete wiskunde, en dan met name op het gebied van de coderingstheorie.