[WI] stelsel oplossen

[Martine1986]

Ik ben nu met wiskunde bezig met stelsels oplossen, en aangezien het al een tijdje geleden is dat ik dit allemaal gehad heb kom ik er niet echt meer uit. Met 2 variabelen is het natuurlijk doodsimpel, maar met 3 en vooral 4 variabelen lukt het me niet meer. Ook als ik de uitwerking en het voorbeeld bekijk kan ik niet volgen hoe ze dat nou doen Het gaat om dit soort stelsels:



Ik snap wel dat je een voor een de variabelen moet elimineren, maar ik begrijp niet zo goed hoe. Als het nuttig is kan ik trouwens ook de uitwerkingen van deze sommen posten.

Ik hoop dat iemand hier zo vriendelijk zou willen zijn om het me even uit te leggen

[Safe]

Dat kan met de 'hand', maar gestructureerder met matrixrekening.
Zegt je dat wat?

[Safe]

Misschien is het toch handig om ook de uitwerking te posten. En misschien kan je dan aangeven waar het je gaat 'duizelen'.

Een matrix gaat sneller, maar dit is de handmatige manier:

Je moet één voor één de vergelijkingen afgaan en steeds één variabele kiezen om uit te drukken in de anderen. Hierbij maak je dan gebruik van de uitdrukking die je uit de voorgaande formule hebt verkregen.

2x + y - 2z - u = 1
3x - y + z - u = 4
2x + 2y - 3z = 0
-3y + 5z + 2u = 2

Begin gewoon willekeurig, dus waarom niet bovenaan:

Ga u uitdrukken in de anderen:

u = 2x + y - 2z - 1

Ga door naar de volgende. Plug daar eerst je uitkomst(en) in van vorige vergelijkingen, in dit geval alleen voor u :

3x - y + z - u = 4
3x - y + z - (2x + y - 2z - 1) = 4
3x - y + z - 2x - y + 2z + 1 = 4
x - 2y + 3z = 3

Kies nu een nieuwe variabele uit die vergelijking. Bijvoorbeeld x:

x - 2y + 3z = 3
x = 3 + 2y - 3z

Neem nu de volgende vergelijking:

2x + 2y - 3z = 0

We weten nu:

x = 3 + 2y - 3z

Dus plug in:


2(3 + 2y - 3z) + 2y - 3z = 0
6 + 4y - 6z + 2y - 3z = 0
6y - 9z + 6 = 0
6y = 9z - 6
y = 1.5 z - 1

Nu in de laatste:

-3y + 5z + 2u = 2

Plug daar alle vorige in:

-3y + 5z + 2(2x + y - 2z - 1) = 2 // u vervangen
4x - y + z = 4
4(3 + 2y - 3z) - y + z = 4 // x vervangen
12 + 8y - 12z - y + z = 4
7y - 11z = -8
7(1.5 z - 1) - 11z = -8 // y vervangen
10.5z - 7 - 11z = -8
-0.5 z = -1

z = 2


Nu ga je weer terug het rijtje langs en invullen:

y = 1.5 z - 1
y = 3 - 1
y = 2

x = 3 + 2y - 3z
x = 3 + 4 - 6
x = 1

u = 2x + y - 2z - 1
u = 2 + 2 - 4 - 1
u = -1

x = 1
y = 2
z = 2
u = -1

[Martine1986]

Bedankt iedereen die al gereageerd heeft, had niet verwacht zo snel al reacties te hebben Heb voor de duidelijkheid ook maar even de uitwerking ingetikt;

Ik heb de uitwerkingen die jullie hebben gegeven bekeken, maar volgens mij zijn jullie methodes heel veel werk in verhouding met de methode die in mijn boek staat. Ook gebruiken jullie volgensmij substitutie ipv eliminatie.
Maar in ieder geval de uitwerking ook, dan snappen jullie misschien wat ik bedoel
Ik kan nog volgen hoe ze de u elimineren. Ze vermenigvuldigen de bovenste formule met -1 en de tweede formule met 1 zodat als je ze van elkaar aftrekt de u wegvalt. Maar eigenlijk snap ik daarna niet meer waar ze mee bezig zijn. Ze vermenigvuldigen dan weer de bovenste formule met 2, en tellen er dan de onderste bij op? Maar waarom dan de ene keer optellen en de andere keer aftrekken

Martine1986 schreef op 18-04-2006 @ 15:01 :
Bedankt iedereen die al gereageerd heeft, had niet verwacht zo snel al reacties te hebben Heb voor de duidelijkheid ook maar even de uitwerking ingetikt;
[afbeelding]
Ik heb de uitwerkingen die jullie hebben gegeven bekeken, maar volgens mij zijn jullie methodes heel veel werk in verhouding met de methode die in mijn boek staat. Ook gebruiken jullie volgensmij substitutie ipv eliminatie.
Maar in ieder geval de uitwerking ook, dan snappen jullie misschien wat ik bedoel

Jouw uitwerking is een andere manier van weergave van de uitwerking met een matrix. Als je die oplossing in een matrix schrijft is het een stuk overzichtelijker.

Je wil gewoon de andere rijen zo manipuleren dat je per rij maar 1 entry overhoudt.

[Safe]

Eigenlijk begrijp ik je probleem niet.
Je zegt dat met twee var het gemakkelijk is. Dus de twee met y en z is duidelijk.
Er zijn 4 verg met 4 var. Je herleidt (net zoals met 2) naar 3 verg met 3 var. Daarvoor moet je eerst een keus maken welke variabele geëlimineerd moet worden (de keus valt hier op u, want we hebben al een verg zonder u).
Werkwijze: vermenigvuldig met (eenvoudige) factoren zodanig dat bij optelling u verdwijnt. Begrijp je nu de toegevoegde factoren, anders is het nuttig om die verm uit te schrijven en daarna de optelling uit te voeren. Daarna is gekozen voor x. Probeer het nu zelf door ipv x voor y te kiezen (het lijkt hier zelfs gemakkelijker), dus zodanige factoren dat na optelling y verdwijnt.
Succes!

Vaak is het het makkelijkst om te 'vegen', maar als je nooit met matrices hebt gewerkt is dat misschien wat lastig.