OVergaan van Poolcoordinaten naar cartesische

[wp160366]

Kan iemand uitleggen hoe ik:

r=1/(3-2cos(theta)) naar een cartesische vergelijking kan omzetten?

Alvast bedankt,

[wp160366]

echt niemand?

[mathfreak]

wp160366 schreef op 19-04-2006 @ 13:13 :
Kan iemand uitleggen hoe ik:

r=1/(3-2cos(theta)) naar een cartesische vergelijking kan omzetten?

Alvast bedankt,

Algemeen geldt dat een kegelsnede met parameter p en numerieke eccentriciteit e in poolcoördinaten gegeven wordt door r=p/(1-e*cos(theta)), dus p=2 en e=3. In carthesische coördinaten geeft dit de vergelijking y²=2*p*x-(1-e²)x². Voor e=0 krijgen we een cirkel, voor 0<e<1 een ellips, voor e=1 een parabool en voor e>1 een hyperbool. Uit e=3 volgt dat we in dit geval te maken hebben met een hyperbool met vergelijking y²=4*x+8*x²=8(x²+1/2*x+1/16)-1/2=8(x+1/4)²-1/2, dus 8(x+1/4)²-y²=1/2, dus 16(x+1/4)²-2*y²=1. Herschrijven we dit als (x-q)²/a²-y²/b²=1, dan vinden we: q=-1/4, a²=1/8 en b²=1/2, dus b²=4*a². Stel a>0 en b>0, dan vinden we: a=sqrt(1/8)=sqrt(2/16)=1/4*sqrt(2) en b=2*a=1/2*sqrt(2). Dit geeft dus een hyperbool met middelpunt (-1/4,0), a=1/4*sqrt(2) en b=1/2*sqrt(2).

[TD]

mathfreak schreef op 19-04-2006 @ 14:44 :
Algemeen geldt dat een kegelsnede met parameter p en numerieke eccentriciteit e in poolcoördinaten gegeven wordt door r=p/(1-e*cos(theta)), dus p=2 en e=3. In carthesische coördinaten geeft dit de vergelijking y²=2*p*x-(1-e²)x². Voor e=0 krijgen we een cirkel, voor 0<e<1 een ellips, voor e=1 een parabool en voor e>1 een hyperbool. Uit e=3 volgt dat we in dit geval te maken hebben met een hyperbool met vergelijking y²=4*x+8*x²=8(x²+1/2*x+1/16)-1/2=8(x+1/4)²-1/2, dus 8(x+1/4)²-y²=1/2, dus 16(x+1/4)²-2*y²=1. Herschrijven we dit als (x-q)²/a²-y²/b²=1, dan vinden we: q=-1/4, a²=1/8 en b²=1/2, dus b²=4*a². Stel a>0 en b>0, dan vinden we: a=sqrt(1/8)=sqrt(2/16)=1/4*sqrt(2) en b=2*a=1/2*sqrt(2). Dit geeft dus een hyperbool met middelpunt (-1/4,0), a=1/4*sqrt(2) en b=1/2*sqrt(2).

Volgens mij maak je in het begin een fout, bij de aflezing van p en e. De poolvergelijking staat er niet voor in de juiste vorm. Herschrijf als r = (1/3)/(1-(2/3)cos(t)) en pas dan het bovenstaande verhaal toe met dus p = 1/3 en e = 2/3.

Ook mogelijk, inverse transformatieformules: r = sqrt(x²+y²) en y = arctan(y/x).
Invullen en verder vereenvoudigen levert bij mij de cartesische vergelijking van een ellips: 5x² - 4x + 9y² - 1 = 0.
Of, omgevormd: 25/9(x-2/5)² + 5y² = 1.

[mathfreak]

TD schreef op 19-04-2006 @ 22:12 :
Volgens mij maak je in het begin een fout, bij de aflezing van p en e. De poolvergelijking staat er niet voor in de juiste vorm. Herschrijf als r = (1/3)/(1-(2/3)cos(t)) en pas dan het bovenstaande verhaal toe met dus p = 1/3 en e = 2/3.

Ook mogelijk, inverse transformatieformules: r = sqrt(x²+y²) en y = arctan(y/x).
Invullen en verder vereenvoudigen levert bij mij de cartesische vergelijking van een ellips: 5x² - 4x + 9y² - 1 = 0.
Of, omgevormd: 25/9(x-2/5)² + 5y² = 1.

Ik geef hier even de gecorrigeerde uitwerking: stel r=1/(3-2*cos(theta))=p/(1-e*cos(theta)), dan geldt: p=1/3 en e=2/3. Algemeen geldt dat een kegelsnede met parameter p en numerieke eccentriciteit e in poolcoördinaten gegeven wordt door r=p/(1-e*cos(theta)). In carthesische coördinaten geeft dit de vergelijking y²=2*p*x-(1-e²)x². Voor e=0 krijgen we een cirkel, voor 0<e<1 een ellips, voor e=1 een parabool en voor e>1 een hyperbool. Uit e=2/3 volgt dat we in dit geval te maken hebben met een ellips met vergelijking y²=2/3*x-5/9*x²=-5/9(x²-6/5*x+36/25)+4/5=-5/9(x-3/5)²+4/5, dus 5/9(x-3/5)²+y²=4/5, dus 25/36(x-3/5)²+5/4*y²=1. Herschrijf dit als (x-q)²/a²+y²/b²=1, dan geldt: q=3/5, a²=36/25 en b²=4/5=5/9*a². Stel a>0 en b>0, dan vinden we: a=6/5 en b=1/3*a*sqrt(5)=2/5*sqrt(5). We vinden dan voor de kegelsnede een ellips met middelpunt (3/5,0), een halve lange as a=6/5 en een halve korte as b=2/5*sqrt(5).

In 2D geldt:
r² = x² + y²
x = r*cos(theta)
y = r*sin(theta)

Meer hoef je niet te weten, toch?

[mathfreak]

Mephostophilis schreef op 20-04-2006 @ 12:59 :
In 2D geldt:
r² = x² + y²
r = x*cos(theta)
r = y*sin(theta)

Meer hoef je niet te weten, toch?

Even een correctie: er geldt namelijk: x=r*cos(theta) en y=r*sin(theta), dus tan(theta)=y/x en r=sqrt(x²+y²).

Achja, natuurlijk