Bewijs van de formule voor middelpuntzoekende versnelling

[Tijdschrift]

Bonjour.

Tijdens het leren van mijn repetities kwam ik de formule voor de middelpuntzoekende versnelling tegen:
a(mpz) = v^2/r

De middelpuntzoekende versnelling is gelijk aan de snelheid in het kwadraat maal de straal.

Nou vraag ik me af, waar halen ze dat vandaan? Weet iemand toevallig het bewijs voor deze formule? Ookal is het geen toets- of examenstof, ik ben gewoon benieuwd. Alvast bedankt.

Er geldt:

F_mpz = (m.v²)/r
en
F = m.a

Invullen in elkaar:

m.a = (m.v²)/r

beide kanten delen door m...

a = v²/r


Jeej.

Dan moet je wel eerst weten hoe je aan mv²/r komt...
Je kan op twee manieren te werk gaan.
1) Je kan bewijzen dat een bol op een deeltje op afstand r een kracht F = -GMm/r²*e_r werkt door over het volume van de bol te integreren. Daarna vul je F=ma in en ben je klaar. Dat is wel knap lastig en is af te raden.
2) Beschouw een deeltje in een cirkelvormige baan.
Daar hoort parametrisatie bij, bv. x(t) = r*cos(wt) en y(t) = r*sin(wt) (straal = r, hoeksnelheid = w).
x'(t) = -rw*sin(wt) en y'(t) = rw*cos(wt).
En x''(t) = -rw²*cos(wt) en y''(t) = -rw²*sin(wt). Pas Pythagoras toe: a(t) = sqrt(x''(t)² + y''(t)²) = sqrt(r²w⁴*cos²(wt) + r²w⁴*sin²(wt)) = sqrt(r²w⁴) = rw².
Van wiskunde weet je hopelijk dat w = v/r, dus a = r*v²/r² = v²/r.
Het kan ook anders (dit is niet helemaal algemeen), maar dat moet je in een studieboek opzoeken.

Thomasso schreef op 30-01-2007 @ 01:34 :
Dan moet je wel eerst weten hoe je aan mv²/r komt...
Je kan op twee manieren te werk gaan.
1) Je kan bewijzen dat een bol op een deeltje op afstand r een kracht F = -GMm/r²*e_r werkt door over het volume van de bol te integreren. Daarna vul je F=ma in en ben je klaar. Dat is wel knap lastig en is af te raden.
2) Beschouw een deeltje in een cirkelvormige baan.
Daar hoort parametrisatie bij, bv. x(t) = r*cos(wt) en y(t) = r*sin(wt) (straal = r, hoeksnelheid = w).
x'(t) = -rw*sin(wt) en y'(t) = rw*cos(wt).
En x''(t) = -rw²*cos(wt) en y''(t) = -rw²*sin(wt). Pas Pythagoras toe: a(t) = sqrt(x''(t)² + y''(t)²) = sqrt(r²w⁴*cos²(wt) + r²w⁴*sin²(wt)) = sqrt(r²w⁴) = rw².
Van wiskunde weet je hopelijk dat w = v/r, dus a = r*v²/r² = v²/r.
Het kan ook anders (dit is niet helemaal algemeen), maar dat moet je in een studieboek opzoeken.

De formule voor Fmpz staat in Binas en hoeft dus niet te worden afgeleid

[ILUsion]

Tijdschrift schreef op 29-01-2007 @ 21:40 :
Bonjour.

Tijdens het leren van mijn repetities kwam ik de formule voor de middelpuntzoekende versnelling tegen:
a(mpz) = v^2/r

De middelpuntzoekende versnelling is gelijk aan de snelheid in het kwadraat maal de straal.

Nou vraag ik me af, waar halen ze dat vandaan? Weet iemand toevallig het bewijs voor deze formule? Ookal is het geen toets- of examenstof, ik ben gewoon benieuwd. Alvast bedankt.

Ik hoop dat je met vectoren kan werken, dan is het bewijs vrij makkelijk te geven, als je weet dat de afgeleide van de plaatsvector naar de tijd de snelheidsvector geeft en de afgeleide van de snelheidsvector naar de tijd de versnellingsvector. Dan volgt inderdaad uit de Wet van d'Alembert ( F = m a), wat je centripetale kracht is.

Ik heb eventjes geen zin om het helemaal uit te typen, maar normaalgezien moet je wel iets aan de volgende formules hebben, daarbij vertrek je van de plaatsvector r, naar snelheidsvector v en naar de snelheid v, naar versnellingsvector a en versnelling a, naar kracht F en hopla:-)

Lucky Luciano schreef op 30-01-2007 @ 10:23 :
De formule voor Fmpz staat in Binas en hoeft dus niet te worden afgeleid

Op proefwerken hoef je sowieso niks af te leiden, het gaat er meer om dat de vraagsteller een idee voor zo'n bewijs krijgt. Anders gezegd: hoe bewijs je die Fmpz-formule? (Kan ook natuurlijk.)

@Illusion: jouw methode is ook netjes, maar de gemiddelde vwo'er krijgt tegenwoordig nauwelijks vectoren, laat staan in de kinematica. Het kan dus wel, maar een gemiddelde scholier vindt dat moeilijke stof.

Thomasso schreef op 31-01-2007 @ 17:31 :
Op proefwerken hoef je sowieso niks af te leiden, het gaat er meer om dat de vraagsteller een idee voor zo'n bewijs krijgt. Anders gezegd: hoe bewijs je die Fmpz-formule? (Kan ook natuurlijk.)

Ik weet niet of ampz in binas staat, maar formules die niet in binas staan moeten voor gebruik wel degelijk worden afgeleid.

[ILUsion]

Thomasso schreef op 31-01-2007 @ 17:31 :
Op proefwerken hoef je sowieso niks af te leiden, het gaat er meer om dat de vraagsteller een idee voor zo'n bewijs krijgt. Anders gezegd: hoe bewijs je die Fmpz-formule? (Kan ook natuurlijk.)

@Illusion: jouw methode is ook netjes, maar de gemiddelde vwo'er krijgt tegenwoordig nauwelijks vectoren, laat staan in de kinematica. Het kan dus wel, maar een gemiddelde scholier vindt dat moeilijke stof.

Hier in België doen we wel aan vectoren (vanaf het 4e jaar in wiskunde, vanaf het derde in fysica (heel beperkt: parallelogramregel voor de samenstelling van krachten)), en die afbeelding komt uit mijn formularium fysica van het laatste (6e) jaar (wel voor 2 uur fysica, maar volgens mij krijgen ze in 1 uur fysica hetzelfde). Volgens mij is dat nog veruit de beste methode om dit te bewijzen, het gaat toch maar een om een simpele cirkel. Doordat je met absolute assen werkt, kan je gewoon heel simpel de kettingregel toepassen, wat neerkomt op het afleiden van de coördinaten ten opzichte van die assen. Zo heel moeilijk is dat niet echt (pas bij relatieve assen zoals de drievlakshoek van Frenet wordt het interessanter omdat daar de kettingregel nog extra termen in de vergelijking gooit, maar dat is inderdaad geen niveau middelbaar meer, maar zeker niet onoverkomelijk om te begrijpen voor iemand met heel wat uren wiskunde en interesse in mechanica). In ieder geval bieden vectoren een veel betere kijk op het geheel, als het een beetje goed uitgelegd wordt.

Maar de methode die jij geeft is eigenlijk net hetzelfde: ook gewoon een vector opsplitsen in zijn componenten, en door die absolute assen kun je daarin blijven werken.

[Knots]

Lucky Luciano schreef op 31-01-2007 @ 17:41 :
Ik weet niet of ampz in binas staat, maar formules die niet in binas staan moeten voor gebruik wel degelijk worden afgeleid.

Ampz staat in Binas inderdaad.

[Tijdschrift]

Heel erg bedankt voor de uitleg van iedereen. Ik ben er, samen met wat dingen van het internet, nu helemaal achter. Oja, voor iedereen die het over Binas had, ik weet dat het geen examenstof is (had ik al in m'n openingspost gezet ) Maar ik was gewoon nieuwsgierig

Ik had trouwens een halve bonuspunt gekregen bij mijn repetitie omdat ik op m'n klad dat bewijs had geprobeerd uit te werken, en dat had hij bekeken