WI top van een grafiek

[mini89]

Hoe bereken je ook al weer exact de coordinaten van de top van een grafiek?

[ILUsion]

Dat doe je door de extrema van de functie te bepalen. Voor functies in een variabele f(x)=y, doe je dit door f af te leiden naar x. Van de afgeleide functie bepaal je dan de nulpunten, dit zijn de stationaire punten en die kunnen dus mogelijk een (relatief) maximum of minimum zijn. Om te bepalen of het maxima of minima betreft kan je op 2 manieren te werk gaan: ofwel bespreek je het tekenverloop van die eerste afgeleide, een maximum zal daarop dan een punt zijn waar het teken van f´ + voor het stationair punt, 0 in het stationair punt en - na het stationair punt. Voor een minimum net omgekeerd ( -, 0 , +). Elke andere uitslag zorgt ervoor dat je geen conclusie kan trekken.

Een tweede methode om te bepalen of je stationair punt een maximum of een minimum is, is door de tweede afgeleide van f naar x te berekenen: f", je berekent voor de stationaire punten de waarde van die tweede afgeleide. Als dat een positief getal is, heb je een minimumm, is dat een negatief een maximum, is het nul, dan heb je weer geen besluit.

Om dan de coördinaten (x,y) te kennen, vul je de verkregen x-waarde in in de functievergelijking zelf (dus niet in een van beide afgeleides!).

Als je de "top" van een parabool bedoelt (want bij andere functies wordt daar niet vaak van gesproken), is dit net hetzelfde. Een parabool wordt bepaald door y = ax² + bx + c
De eerste afgeleide daarvan is 2ax +b en de tweede afgeleide is 2a.
Om de top te kennen, de eerste afgeleide gelijkstellen aan 0: 2ax+ b = 0, dus x = -b/2a. De y-waarde hiervan is dus -ab²/4a² - b²/2a + c.

voor kwadratische functies kan je natuurlijk ook kwadraat afsplisen.

[Ray]

En eventueel pleur je de formule in je GR en laat je apparaatje mooie even de top(pen) uitrekenen. Maar afgeleide functie werkt ook makkelijk

[ILUsion]

X-Ray™ schreef op 30-01-2007 @ 16:24 :
En eventueel pleur je de formule in je GR en laat je apparaatje mooie even de top(pen) uitrekenen. Maar afgeleide functie werkt ook makkelijk

Daarmee krijg je enkel een benadering, voor specialere functies krijg je hier last mee (en met vectorwaardige functies al helemaal, maar daar moet je sowieso een andere methode gebruiken). De methode van je grafisch rekenmachientje is enkel nuttig om die grafiek wat te visualiseren en te zien dat er op ongeveer x=2 bv. een maximum is, maar als zelfs al de top op een gehele waarde ligt, kan het soms gebeuren dat het rekenmachien dat aangeeft als 1,99876 (dus zeker niet altijd geloven wat dat ding zegt) en als je bijvoorbeeld op e, pi, pi², e², wortels, of andere 'rare' getallen moet uitkomen, geeft je rekenmachien daar ook niet mooi van welk getal dat precies is.

(En daarenboven: je hebt er volgens mij meer aan als je de werkwijze manueel kunt uitvoeren, dat je daarna het rekenwerk aan een computer of rekenmachine overlaat, is niets mis mee; maar het is wel zo handig dat je weet waarmee je bezig bent of dat je weet wat je rekenmachine in jouw plaats aan het doen is. Dat rekenmachientjes zo algemeen geworden zijn en zeker grafische rekenmachientjes, doet niet veel goeds voor het wiskunde-inzicht van vele mensen: ja, gooi maar eventjes in je rekenmachientje. Dat werd vroeger met de hand gedaan, kon je zonder rekenmachine maar zien dat je een functie kon schetsen etc. Niet dat dat nu veel nut heeft in het bedrijfsleven, maar door die automatisatie heb je geen inzicht meer in waarmee je bezig bent).

[Ray]

Tuurlijk, maar gezien haar naam (89) is ze waarschijnlijk nog niet heel oud en aangezien ze het vergeten is heeft ze misschien alleen de rekenmachine nodig.

Als je iets exact moet berekenen betekent dat dus dat je je GR niet mag gebruiken, althans, je moet het algebraïsch berekenen en kunt je GR natuurlijk wel raadplegen om je antwoord te checken.

[ILUsion]

X-Ray™ schreef op 30-01-2007 @ 16:46 :
Tuurlijk, maar gezien haar naam (89) is ze waarschijnlijk nog niet heel oud en aangezien ze het vergeten is heeft ze misschien alleen de rekenmachine nodig.

Ik begrijp wel waarom je een rekenmachine aangeeft. Maar op die leeftijd wordt toch al afleiden aangeleerd? Dat komt hier in België overeen met het voorlaatste jaar middelbaar, dan zie je normaal afgeleiden (of dat in Nederland ook zo is, weet ik natuurlijk niet).

Mijn punt hierin was eerder dat een rekenmachine een leuk hulpmiddel is, maar je mag er zeker geen 100% op vertrouwen omdat die rekenmachines enkel numeriek kunnen werken enerzijds en anderzijds ben je meer met een klein beetje inzicht: als je dan een iets moeilijker opgave krijgt, kun je die ook oplossen. En inzicht kweken doe je niet door steeds bij elk probleem de grafiek op je rekenmachien te plotten, en die waarde op dat scherm over te schrijven, inzicht krijg je enkel door over het probleem na te denken. Je bent meer met inzicht dan met hersenloos formuletjes intikken op een rekenmachien, want op een dag kom je die ene formule tegen die je rekenmachine niet aanpakt en dan zit je direct vast. Erover nadenken kan je niet meer, want je bent vergeten hoe je dat probleem algemeen zou moeten oplossen. Ik zou nog uren kunnen doorbomen hierover, maar dat lijkt me geen goed idee.

VWO wiskunde is niet te vergelijken met ASO 8uur wiskunde.

[Ray]

Hm, 6vwo N&G, dan zou afgeleide functie idd geen probleem moeten zijn.

[rensd]

Differentiëren krijg je in de 5e, soms al in de 4e.

[ILUsion]

Global1 schreef op 30-01-2007 @ 17:10 :
VWO wiskunde is niet te vergelijken met ASO 8uur wiskunde.

Ik wil zeker niet zeggen dat iemand die 'minder' uren wiskunde heeft even veel moet begrijpen of zien als iemand die 8 uren gedaan heeft. Maar het zou me gek lijken dat je in de richtingen met minder wiskunde zelfs niet de beginselen van afgeleiden ziet (maar ik weet dan ook niet precies hoe jullie wiskunde-onderwijs daar in elkaar zit, volgens mij kunnen heel wat Nederlanders er zelf al niet aan uit met die A/B/C/D-classificaties).

[mini89]

dank julie wel
afleiden is inderdaad geen probleem en is ook de bedoeling, als het met de rekenmachine mocht was het probleem al opgelost.
Het berekenen van een top had ook geen probleem moeten zijn want volgens mij leer je dat ook al in de 4e ofzo
ik wist alleen even niet meer waar je de uitkomst in moet vullen, in de afgeleide of in de gewone functie. Het moet dus in de gewone functie.

[Ray]

Mooi zo

[ILUsion]

mini89 schreef op 30-01-2007 @ 17:38 :
dank julie wel
afleiden is inderdaad geen probleem en is ook de bedoeling, als het met de rekenmachine mocht was het probleem al opgelost.
Het berekenen van een top had ook geen probleem moeten zijn want volgens mij leer je dat ook al in de 4e ofzo
ik wist alleen even niet meer waar je de uitkomst in moet vullen, in de afgeleide of in de gewone functie. Het moet dus in de gewone functie.

Tja, ik geloof dat je doelt op de top van een parabool berekenen; en die formule voor de top en nulpunten daarvan onthoudt ik ook nooit, gewoon eventjes afleiden, gaat even snel als proberen op die formules te komen).

Maar inderdaad, invullen in de functie: je moet namelijk een punt van de grafiek hebben (karakteristiek voor die punten: y=f(x), dus x en y moeten voldoen aan die vergelijking, en vermits je een x hebt kan je die y daaruit dus berekenen als je een functie hebt die eenduidig bepaald is). Dit is echt een klassieke fout, daarom dat ik het ook expliciet in mijn eerste bericht gezet heb, je hoeft je er dus niet al te slecht bij te voelen, komt door te snel te willen werken meestal en dan invullen in de eerste de beste functie die je tegenkomt (en dat is dan meestal de eerste of zelfs de tweede afgeleide, maar daarmee bepaal je geen punt van de grafiek).

In mastering the material in this book, you are going to have to do a lot of
work. This will consist mainly of chewing a pencil or pen as you struggle to
do some sums. Maths is like that. Hours of your life will pass doing this,
when you could be watching the X-les or playing basketball, or whatever.
There had better be some point to this, right?
There is, but it isn't altogether easy to tell you exactly what it is, because
you can only really see the advantages in hindsight. You are probably quite
glad now that you learnt to read when you were small, but it might have
seemed a drag at the time. Trust me. It will all be worth it in the end.
If this doesn't altogether convince you, then talk to the Engineering Lecturers
about what happens in their courses. Generally, the more modern
and intricate the material, the more Mathematics it uses. Communication
Engineering and Power Transmission both use Complex Functions; Filtering
Theory in particular needs it. Control Theory uses the subject extensively.
Whatever you think about Mathematicians, your lecturers in Engineering
are practical people who wouldn't have you do this course if they thought
they could use the time for teaching you more important things.
Another reason for doing it is that it is fun. You may nd this hard to believe,
but solving problems is like doing exercise. It keeps you t and healthy and
has its own satisfactions. I mean, on the face of it, someone who runs three
12 CHAPTER 1. FUNDAMENTALS
kilometres every morning has to be potty: they could get there faster in a
car, right? But some people do it and feel good about themselves because
they've done it. Well, what works for your heart and lungs also applies to
your brain. Exercising it will make you feel better. And Complex Analysis is
one of the tougher and meatier bits of Mathematics. Tough minded people
usually like it. But like physical exercise, it hurts the rst time you do it,
and to get the benets you have to keep at it for a while.
I don't expect you to buy the last argument very easily. You're kept busy
with the engineering courses which are much more obviously relevant, and
I'm aware of the pressure you are under. Your main concern is making sure
you pass the examination. So I am deliberately keeping the core material
minimal.
I am going to start o by assuming that you have never seen any complex
numbers in your life. In order to explain what they are I am going to do a
bit of very easy linear algebra. The reasons for this will become clear fairly
quickly.

voor Ilusion en voor mensen die de nut van zelf analytisch oplossen niet ziet

[ILUsion]

Global1 schreef op 01-02-2007 @ 14:16 :
...Engelse tekst...
voor Ilusion en voor mensen die de nut van zelf analytisch oplossen niet ziet

Wat is je punt? Ik zie wel degelijk het punt in analytisch oplossen van vergelijkingen, wanneer het kan is het te verkiezen boven een numerieke oplossing (omdat je dan eventueel alle getallen zou kunnen vervangen door parameters en zo een meer algemene oplossing kan uitwerken, wat bij een numerieke oplossing niet zo is.

De tekst heeft wel gelijk in het feit dat je het best leert door zelf te doen, door alles stukje bij beetje te begrijpen.

Global1 schreef op 01-02-2007 @ 14:16 :
...

voor Ilusion en voor mensen die de nut van zelf analytisch oplossen niet ziet

Dat is dus een reden te meer om de formules *niet* uit je hoofd te leren, en in plaats daarvan "alles" zelf af te leiden.
Dus precies wat Illusion doet.


Of bedoel je juist, dat jij gelooft dat Illusion de *enige* gebruiker van dit forum is die het nut van zelf analytisch oplossen *wel* ziet?
Ook dan zit je er behoorlijk naast ...

zijn dat de enige twee mogelijkheden?

Of bedoel je juist, dat jij gelooft dat Illusion de enige gebruiker van dit topic is die het nut van zelf analytisch oplossen *wel* ziet?
Ook dan zit je er behoorlijk naast ...

ik geloof dat Illusion de enige gebruiker was die het nut bleek te zien in dit topic tot dat u postte

[ILUsion]

Global1 schreef op 02-02-2007 @ 01:51 :
zijn dat de enige twee mogelijkheden?

Of bedoel je juist, dat jij gelooft dat Illusion de enige gebruiker van dit topic is die het nut van zelf analytisch oplossen *wel* ziet?
Ook dan zit je er behoorlijk naast ...

ik geloof dat Illusion de enige gebruiker was die het nut bleek te zien in dit topic tot dat u postte

Zeg dan tenminste wat je bedoelde.

En wat je met die derde alinea bedoelt, is mij echt een vraag: ik geloof nog stteds in het analytisch oplossen van vraagstukken, Vrolijk heeft daar zeker niets aan veranderd. Ik vind niet dat je dat had moeten zeggen: de enige die weet waarvan ik wel of niet het nut inzien ben ikzelf, jij hoeft Vrolijk niet naar zijn kop te smijten dat ik het wel of niet nuttig vind totdat hij iets zei. In zijn post staat juist dat hij denkt dat ik zeker niet de enige ben die voor analytisch oplossen is (en dat ben ik met hem eens). Aan zijn post kan ik niet veel oproerstokerij vinden, aan die van jou daarentegen wel. Daarom nogmaals: leg eens uit wat je met die (Engelse) quote bedoelde.

Je eigen tekst eronder "voor Ilusion en voor mensen die de nut van zelf analytisch oplossen niet ziet"betekent volgens mij dat ik wel analytisch wil oplossen en anderen niet, maar dan zie ik niet in waarom je dat aan mij richt (niet omdat ik analytisch wil oplossen, maar jouw beweegreden om het aan mij te richten).

ik was juist van mening dat jij wel het nut zag.
oke?

Vrolijk heeft daar zeker niets aan veranderd. Ik vind niet dat je dat had moeten zeggen: de enige die weet waarvan ik wel of niet het nut inzien ben ikzelf, jij hoeft Vrolijk niet naar zijn kop te smijten dat ik het wel of niet nuttig vind totdat hij iets zei.

MAAr dat bedoelde ik niet eens.
toen Vrolijk postte was jij niet meer de enige die het nut zag in het topic, immers Vrolijk ziet het nut natuurlijk ook wel (hij is toch wiskunde leraar)
Niet dat jij het nu begon te zien omdat Vrolijk hier heeft gepost.

ik geef toe dat mijn post "voor Ilusion en voor mensen die de nut van zelf analytisch oplossen niet ziet" verwarring doet onstaan. Maar ik dacht dat jij het tekst daarboven wel leuk zo vinden.(want jij zag het nut natuurlijk wel)

[ILUsion]

Global1 schreef op 03-02-2007 @ 12:22 :
MAAr dat bedoelde ik niet eens.
toen Vrolijk postte was jij niet meer de enige die het nut zag in het topic, immers Vrolijk ziet het nut natuurlijk ook wel (hij is toch wiskunde leraar)
Niet dat jij het nu begon te zien omdat Vrolijk hier heeft gepost.

ik geef toe dat mijn post "voor Ilusion en voor mensen die de nut van zelf analytisch oplossen niet ziet" verwarring doet onstaan. Maar ik dacht dat jij het tekst daarboven wel leuk zo vinden.(want jij zag het nut natuurlijk wel)

Ja oke, ik zie het misverstand hier nu: je bedoelde dat er iemand bijkwam die wel die methode als nuttig beschouwt (en niet dat door zijn post ik dat niet meer zou zien) en bij die andere post ook een beetje een scheve uitdrukking van jou deronder, maakte het spel compleet, maakt niet uit

Dat stukje tekst was inderdaad leuk om te lezen (en geheel op waarheid gebaseerd; je moet eerst door heel wat saaie theorie om de leuke dingen te kunnen gaan bestuderen. Echter heb je volgens mij genoeg leerkrachten die de essentie vergeten: het is volgens mij niet de bedoeling om een eigen vak steeds naar voren te duwen als belangrijkste, het is de wisselwerking tussen de verschillende vakken die eerder belangrijk is: met enkel wiskunde kun je niets doen, maar om andere vakken te kunnen begrijpen (chemie, mechanica, fysica, ...), heb je heel wat wiskundige technieken nodig.