[WI] nulpunten vergelijking

[Roosje]

Ja ik was laatst aan het nadenken ennn waarom mag je in de vergelijking
x^3 - x^2 - x = 0
niet beide leden door x delen? Althans, toen ik het probeerde kwamen er andere nulpunten uit. :x (x = 0 is dan bv. geen geldige oplossing meer.) verlicht mij!

[ILUsion]

De reden is vrij simpel: je mag niet delen door 0. Als x = 0 een oplossing is en je deelt door 0, deel je in feite ook door 0 en dat mag niet. Je gooit dan in feite een oplossing weg zoals je zelf al opmerkt.

Net hetzelfde zou je krijgen als je deelt door (x³ - x² - x), je krijgt dan 1 = 0, wat ook totale nonsens is

Je moet hier steeds mee opletten in dergelijke vergelijkingen; wat je dus beter doet is het linkerlid ontbinden, je krijgt dan: (x³ - x² - x) = x(x² - x - 1) = x(x - A)(x - B) (waarbij A en B via de discriminant berekend kunnen worden in dit geval). Wat dus nulpunten geeft voor 0, A en B.

Het "mag" wel, mits je goed bijhoudt dat de uitdrukking die je dan krijgt niet geldig is voor x = 0, je moet dus dat geval dan apart gaan behandelen (wat niet zo moeilijk is aangezien x = 0 ook een oplossing is).

[ILUsion]

Kazet Nagorra schreef:

Het "mag" wel, mits je goed bijhoudt dat de uitdrukking die je dan krijgt niet geldig is voor x = 0, je moet dus dat geval dan apart gaan behandelen (wat niet zo moeilijk is aangezien x = 0 ook een oplossing is).

Je hebt in feite gelijk, Kazet; maar als je nadien met de kennis terugkijkt op de oefening zie je dat je eigenlijk mogelijk door 0 gaat delen. Dat bijhouden werkt wel, maar ik ben er nooit zo'n voorstander van geweest omdat je dat na een tijdje makkelijk kan vergeten. Ik blijf zelf steeds vasthouden aan: buiten haakjes brengen (oftewel: ontbinden in factoren). Op die manier deel je nooit oplossingen weg en moet je dus ook niet op het einde heel je bewerkingen nalopen om te zien welke mogelijke oplossingen je hebt weggedeeld (want je kan net zo goed (x - A) of (x - B) dan gaan wegdelen). Als je ze buiten haakjes brengt, zie je direct aan de ontbonden vorm wat de oplossingen zijn

[mathfreak]

Roosje schreef:

Ja ik was laatst aan het nadenken en waarom mag je in de vergelijking
x^3 - x^2 - x = 0
niet beide leden door x delen? Althans, toen ik het probeerde kwamen er andere nulpunten uit. :x (x = 0 is dan bv. geen geldige oplossing meer.) verlicht mij!

Zoals je kunt zien is x=0 een oplossing van deze vergelijking, wat betekent dat x een factor is van x³-x²-x, dus x³-x²-x=x(x²-x-1). Uit x³-x²-x=0 volgt dan: x(x²-x-1)=0, dus x=0 of x²-x-1=0. Dat x een factor is van x³-x²-x volgt uit de factorstelling. Deze luidt als volgt: laat p(x) een gegeven veelterm zijn. Als x=a een oplossing is van p(x)=0, dan is x-a een factor van p(x). Dat betekent dat p(x) deelbaar is door x-a, mits x ongelijk is aan a. Voor x=a is x-a gelijk aan 0, dus als je x gelijk aan a neemt deel je p(x) door 0, wat niet is topegestaan. In dit voorbeeld geldt: p(x)=x³-x²-x en a=0, dus zoals je ziet leidt deling van x³-x²-x bij deling door x voor x=0 tot een deling door 0, wat niet is topegestaan.

[Roosje]

Haha nice, tuurlijk. <3 Dankjewel allemaal!