[WI] Diverse vragen

1. Bepaal een vergelijking van de middelloodlijn van (a,b) en (a,-b), alsmede een vergelijking van de lijn door (a,b) en (a,-b).
Ik begin met een vergelijking door (a,b) en (a,-b).
Deze heeft de vorm y = cx + d
c = (-b - b) / (a- a). Aangezien er gedeeld wordt door 0 is er geen rc.
Hoe moet ik nu verder?

Ik weet dat het x = a moet zijn, dus hier ga ik even mee verder.
wortel((x - a)^2 + (y - b)^2) = wortel ((x-a)^2 + (y+b)^2)
(x-a)^2 + (y -b)^2 = (x-a)^2 + (y +b)^2
x^2 - 2ax + a^2 + y^2 -2by + b^2 = x^2 - 2ax + a^2 + y^2 + 2by + b^2
- 2ax -2by + = - 2ax + 2by
-4ax - 2by = 0
-2ax - by = 0

En nu?

2. Bepaal een vergelijking van de lijn door (1,1) die loodrecht staat op de verbindingslijn van (0,0) en (a,b).
De formule van de verbindingslijn is:
y = cx + d
c = (a/b)
y = (a/b)x + d
d = 0
y = (a/b)x
y - (a/b)x = 0
by - ax = 0
Maar volgens het antwoordenboek moet dit iets anders zijn. Zou iemand de hele opgave kunnen uitleggen?


3. bepaal de eventuele snijpunten van de volgende paren cirkels
x^2 + y ^2 + 4x - 2y = 5
x^2 + y^2 - 2x + 4y = 11


Ik zou de vergelijkingen van elkaar aftrekken. Dat levert:
6x - 6y = - 6
6y - 6x = 6
y - x = 6

En hier kom ik niet meer verder. Kan iemand helpen?

Vraag 1
De vergelijking van de lijn die door de punten (a,b) en (a,-b) gaat is de verticale lijn die de x-as snijdt in het punt a en hier loodrecht opstaat (immers gaat de lijn van -b naar b). Het gaat dus om de lijn x=a.

Zoals gezegd is de lijn door (a,b) en (a,-b) verticaal en snijdt de x-as in punt a. Precies het midden van het lijnstuk is de x-as (want tussen -b en b ligt precies de y-as). De middelloodlijn is dus gewoon de lijn y=0. Verder niks dan redeneren in principe.

Vraag 2
De formule voor de lijn moet er een zijn in de vorm y=cx+d
Ook weet je dat de de lijn sowieso ligt op de punten (0,5a; 0,5b) en (1,1).
Ga na dat de helling van de lijn (ofwel de c in de formule voor de lijn) gelijk is aan dy/dx = (b-1)/(a-1). Invullen en d berekenen.

Vraag 3
Van cirkels weet ik niks meer.. iemand?

[mathfreak]

Roykee schreef:

1. Bepaal een vergelijking van de middelloodlijn van (a,b) en (a,-b), alsmede een vergelijking van de lijn door (a,b) en (a,-b).
Ik begin met een vergelijking door (a,b) en (a,-b).
Deze heeft de vorm y = cx + d
c = (-b - b) / (a- a). Aangezien er gedeeld wordt door 0 is er geen rc.
Hoe moet ik nu verder?
Ik weet dat het x = a moet zijn, dus hier ga ik even mee verder.
wortel((x - a)^2 + (y - b)^2) = wortel ((x-a)^2 + (y+b)^2)
(x-a)^2 + (y -b)^2 = (x-a)^2 + (y +b)^2
x^2 - 2ax + a^2 + y^2 -2by + b^2 = x^2 - 2ax + a^2 + y^2 + 2by + b^2
- 2ax -2by + = - 2ax + 2by
-4ax - 2by = 0
-2ax - by = 0

En nu?

De middelloodlijn gaat in ieder geval door het punt dat in het midden van (a,b) en (a,-b) ligt. De coördinaten van dat punt vind je uit x=1/2(a+a)=1/2*2*a=a en y=1/2(b+(-b))=1/2(b-b)=1/2*0=0. De middelloodlijn gaat dus door (a,0). Zoals je ziet liggen deze 3 punten op een lijn met vergelijking x=a. Omdat de middelloodlijn loodrecht op deze lijn staat heeft de middelloodlijn de vergelijking y=p. Omdat (a,0) een punt van de middelloodlijn is geeft dit p=0, dus de middelloodlijn heeft de vergelijking y=0, wat betekent dat de X-as de gezochte middelloodlijn is. Kijk je naar de punten (a,b) en (a-,b), dan zie je dat dat klopt. Deze punten liggen namelijk gespiegeld ten opzichte van de X-as

Roykee schreef:

2. Bepaal een vergelijking van de lijn door (1,1) die loodrecht staat op de verbindingslijn van (0,0) en (a,b).
De formule van de verbindingslijn is:
y = cx + d
c = (a/b)
y = (a/b)x + d
d = 0
y = (a/b)x
y - (a/b)x = 0
by - ax = 0
Maar volgens het antwoordenboek moet dit iets anders zijn. Zou iemand de hele opgave kunnen uitleggen?

Er is gegeven dat de lijn door O en (a,b) gaat. Algemeen heeft een lijn door O de vergelijking y=m*x. Omdat (a,b) op deze lijn ligt geeft dit: b=a*m, dus . De lijn door O en (a,b) heeft dus de vergelijking . De lijn door (1,1) die loodrecht staat op de lijn door O en (a,b) heeft de vergelijking . Omdat (1,1) op de gezochte lijn ligt geeft dit: , dus , dus de gezochte lijn heeft de vergelijking .

Roykee schreef:

3. bepaal de eventuele snijpunten van de volgende paren cirkels
x^2 + y ^2 + 4x - 2y = 5
x^2 + y^2 - 2x + 4y = 11


Ik zou de vergelijkingen van elkaar aftrekken. Dat levert:
6x - 6y = - 6
6y - 6x = 6
y - x = 6

En hier kom ik niet meer verder. Kan iemand helpen?

Er zit een fout in je berekening. Uit 6*x-6*y=6 volgt namelijk: x-y=1, dus y=x-1. Invullen van y=x-1 in de eerste vergelijking geeft dan: x²+(x-1)²+4*x-2(x-1)=5, dus x²+x²-2*x+1+4*x-2*x+2=5, dus 2*x²+3=5, dus 2*x²=2, dus x²=1, dus x=1 of x=-1, dus y=0 of y=-2. Je vindt dan: (x,y)=(1,0) of (x,y)=(-1,-2), dus de cirkels snijden elkaar in de punten (1,0) en (-1,-2).

Heel erg bedankt voor de uitleg. Ik begrijp al beter wat de bedoeling is en ga nu de andere opgaven proberen te maken.