[WI] Rijen

hoi!

kan een rij monotoon stijgend zijn en tegelijkertijd convergent?

danku!

[ILUsion]

Een rij kan wel degelijk monotoon stijgend en tegelijkertijd convergent zijn. Denk je de volgende rij in:
0.9, 0.99, 0.999, ...

die komt uiteindelijk uit op 0.99999999999999... (met een oneindig aantal decimale plaatsen), en dat is nu juist het getal 1.

Deze rij is weliswaar bepaald door een reeks ()

danku, ik snap het!
nog een ander vraagje, hoe kun je bewijzen dat pn = 2 sin(0.5n)-3 begrensd is? en moet je dan één of twee waarden geven, want begrensd dan zit 'ie toch tussen twee grenzen lijkt me?
danku alvast!

ow en wat is het verschil tussen begrensd en convergerend, of komt dat eigenlijk op hetzelfde neer?

convergent bedoel ik

heksenketel schreef:

danku, ik snap het!
nog een ander vraagje, hoe kun je bewijzen dat pn = 2 sin(0.5n)-3 begrensd is? en moet je dan één of twee waarden geven, want begrensd dan zit 'ie toch tussen twee grenzen lijkt me?
danku alvast!

De sinus neemt waarden aan tussen -1 en 1. De functie is dus begrensd tussen -2-3 en 2-3, oftewel -5 en -1.

heksenketel schreef:

ow en wat is het verschil tussen begrensd en convergerend, of komt dat eigenlijk op hetzelfde neer?

Begrensd houdt in dat alle waarden van de rij tussen de begrenzingen in zitten, convergent betekent dat de rij naar een bepaalde waarde toegaat voor grote n. De rij met de sinus is niet convergent, maar wel begrensd.

[ILUsion]

Begrensd houdt in dat je van de rij kan zeggen dat alle elementen in een bepaald gebied/domein gaan liggen, dus zoals bij die sinus-rij (2 sin(...) - 3), daar ga je nooit of te nimmer een waarde 75 uitkomen, alles blijft mooi binnen de grenzen die Kazet al gaf.

Convergent houdt in dat er naar een bepaalde waarde convergentie (toegroeien) is. Wiskundig komt dat erop neer dat als je de limiet met je index naar oneindig neemt van je rij, je die kan uitwerken. De rij die ik als voorbeeld gaf, convergeert naar 1, omdat je daar oneindig dicht gaat bijkomen (niet echt exact uitgedrukt: het element op plaats 'oneindig' is die limiet, en vermits dat getal bestaat, is er convergentie)

Als je daarentegen een sinus-rij beschouwt (bv. cos(pi*n) of (-1)ⁿ), beide rijen ga je merken dat als je n = 0 neemt, je 1 uitkomt, n = 1 geeft -1 en dat gaat zo steeds afwisselen (oscilleren in mooie wiskundige termen). Hoewel die begrensd zijn, convergeert die niet; want wat is de limiet daarvan van n naar oneindig (je 'oneindigste' term)? Is dat 1 of is dat nu -1? Wel, het is geen van beide, je rij is dus ook niet convergent, ook al kan je eigenlijk wel zeggen dat het 1 of -1 is (of algemener dat het ergens tussen 1 en -1 gaat liggen; begrensd is dus)).

[TD]

Ik noteer u(n) voor de n-de term van een rij u.

Een rij u heet begrensd als er een reëel getal M bestaat zodat |u(n)|<M voor elk natuurlijk getal n. Dat klinkt misschien wat moeilijker, maar is wel wat preciezer dan een aantal vorige formuleringen. Intuïtiever uitgedrukt: de rij wordt niet willekeurig groot (of klein, voor negatieve waarden) maar blijft in absolute waarde onder een zekere grens.

In verband met je oorspronkelijke vraag is de volgende stelling heel nuttig: een monotoon stijgende én begrensde rij, is steeds convergent.

Een preciezere maar nog steeds intuïtieve formulering van convergentie is dat de termen van de rij willekeurig dicht bij een zeker reëel getal komen te liggen, als je voldoende ver in de rij kijkt.