Het driedeurenprobleem

[Jazzcrime]

'het driedeurenprobleem werkt zo. Stel je kunt een auto winnen. Je moet kiezen uit drie deuren: achter 1 deur staat een auto; achter de andere deuren niets. Je kiest deur 3 en de alwetende presentator opent een andere deur, waarachter sowieso geen auto zal zitten, bijvoorbeeld deur 2. Hij vraagt vervolgens of je wilt wisselen van deur 3 naar deur 1. De vraag is: Maak je meer kans als je switcht?'

(uit de nrc-next van 24/03).

De uitleg:
'Als de eerste keuze wordt gemaakt, is er een kans van 1/3 op drie dat je goed zit, en een kans van 2/3 dat je er naast zit' (dit lijkt me logisch..)

maar nu:
'Deze kans van 2/3 is na opening van 1 van die twee in zijn geheel overgegaan op de andere nog ongeopende deur. je moet dus altijd wisselen'


Ik snap de logica niet.

Als je weet dat 1 van de 3 deuren het niet is. dan moet je toch de hele rekensom aanpassen? en niet meer over 3 maar gewoon over 2 deuren praten?

Waarom blijf je terwijl er maar 2 kansen (2 deuren) zijn toch praten over 3 deuren? en over 1/3, 2/3, 3/3 etc?

[Jazzcrime]

http://nl.wikipedia.org/wiki/Driedeurenprobleem

Interessant,

'Veel mensen kunnen de oplossing nauwelijks geloven en menen dat na het openen van de deur met de geit, de overblijvende deuren gelijke kans hebben. Men dient echter te bedenken dat de deuren niet uitwisselbaar zijn. Ze onderscheiden zich doordat deur 1 aanvankelijk door de deelnemer is aangewezen en deur 2 door de presentator is dicht gelaten.

Het is anders voor iemand die na het openen van deur 3 de zaal binnenkomt en die van de voorgeschiedenis niet op de hoogte is (bij Vos Savant een groen mannetje uit een plotseling verschenen ruimteschip). Voor deze persoon is het wel om het even of hij wisselt van keuze of niet. Men moet daarbij natuurlijk wel bedenken dat bij herhaling, want daar gaat het om, zo'n persoon ook situaties tegenkomt waarin de deelnemer deur 2 heeft aangewezen.'

Ik was er ook ingetrapt de eerste keer.

Als je je realiseert dat de andere twee deuren samen een kans van 2/3 geven op de prijs, en dit niet verandert nadat de presentator vertelt dat in de andere deur niets zit, is het vrij eenvoudig.

[Jazzcrime]

Oke, nu veronderstel ik dat zowel de presentator als de speler het driedeurenprobleem kent.

Strategie A
De speler kiest voor deur 1
De auto staat achter deur 1
De presentator opent deur 2(hier staat natuurlijk niks achter)

Er is nu 66% kans dat de auto achter deur 3 staat en 33% kans dat hij achter deur 1 staat.

Strategie B
De speler kiest deur 1
De auto staat achter deur 2
De presentator opent deur 3

Er is nu 66% kans dat de auto achter deur 2 staat en 33% kans dat hij achter deur 1 staat.


In mijn scenario is het uiteindelijk toch een puur psychologisch spel? Waarbij er 50% kans is dat de presentator kies voor strategie A. En 50% kans dat de presentator kiest voor strategie B?

Als de auto achter deur 1 staat is er natuurlijk 100% kans dat 'ie achter deur 1 staat.

[Jazzcrime]

Ik ga ervan uit dat de speler niet weet waar de auto staat, maar dat snapte je al.

[Jazzcrime]

Oke, ik denk dat ik het eindelijk snap. (kwestie van uitvergroten..)

Stel je voor: er zijn 100 deuren. Achter 1 deur staat een auto.

A. Eerst mag je een deur kiezen, laten we zeggen deur nummer 39.
B. Op dat moment wijst de presentator 98 deuren aan die het niet zijn, er blijven dus 2 deuren over. Nummer 39 en laten we zeggen 51.
C. Nu is er 99% kans dat de auto achter deur 51 staat.

Waarom? Er is maar 1% kans dat je de eerste keer toen je gokte het juiste getal hebt gegokt.


hoera! ik snap het eindelijk

[Twanos]

Jazzcrime schreef:

Oke, ik denk dat ik het eindelijk snap. (kwestie van uitvergroten..)

Stel je voor: er zijn 100 deuren. Achter 1 deur staat een auto.

A. Eerst mag je een deur kiezen, laten we zeggen deur nummer 39.
B. Op dat moment wijst de presentator 98 deuren aan die het niet zijn, er blijven dus 2 deuren over. Nummer 39 en laten we zeggen 51.
C. Nu is er 99% kans dat de auto achter deur 51 staat.

Waarom? Er is maar 1% kans dat je de eerste keer toen je gokte het juiste getal hebt gegokt.


hoera! ik snap het eindelijk

Dit is de meest simpele en duidelijke uitleg die ik hier ooit over heb gekregen .

Ik snapte de beredenering altijd wel, maar toch voelde hij niet goed (subjectief ja.. weet ik), op deze manier is het een stuk gemakkelijker te bevatten/

Wat een rare regel over dat die deuren niet inwisselbaar zijn. Op het moment dat één deur afvalt blijven er twee over en is de kans 50/50 (nee hoor, alleen als je een alien bent die pas na het openen van deur 1 aankomt). Maar ik vind dat dus onzin. Je streept één optie weg en je hebt dan een nieuwe set parameters om vanuit te werken.

deadlock schreef:

Wat een rare regel over dat die deuren niet inwisselbaar zijn. Op het moment dat één deur afvalt blijven er twee over en is de kans 50/50 (nee hoor, alleen als je een alien bent die pas na het openen van deur 1 aankomt). Maar ik vind dat dus onzin. Je streept één optie weg en je hebt dan een nieuwe set parameters om vanuit te werken.

Wat vind je nu precies onzin?

[Daboman]

deadlock schreef:

Wat een rare regel over dat die deuren niet inwisselbaar zijn. Op het moment dat één deur afvalt blijven er twee over en is de kans 50/50 (nee hoor, alleen als je een alien bent die pas na het openen van deur 1 aankomt). Maar ik vind dat dus onzin. Je streept één optie weg en je hebt dan een nieuwe set parameters om vanuit te werken.

Misschien is het duidelijker als je de mogelijkheden bekijkt wanneer de auto achter deur 1 zit en je wisselt niet:

Scenario 1
Jij kiest deur 1
Presentator streept deur 2 weg
Je wisselt niet
je wint de auto!!!

Scenario 2
Jij kiest deur 2
Presentator streept deur 3 weg
Je wisselt niet
Je wint de auto niet

Scenario 3
Jij kiest deur 3
Presentator streept deur 2 weg
Je wisselt niet
Je wint de auto niet

Bij niet wisselen heb je dus in 1/3e van de gevallen de auto gewonnen. Maar zie hier wat er gebeurt als je wel telkens wisselt:

Scenario 4
Jij kiest deur 1
Presentator streept deur 2 weg
Je wisselt naar deur 3
je wint de auto niet

Scenario 5
Jij kiest deur 2
Presentator streept deur 3 weg
Je wisselt naar deur 1
je wint de auto!!!

Scenario 6
Jij kiest deur 3
Presentator streept deur 2 weg
Je wisselt naar deur 1
je wint de auto!!!

Hier win je dus in 2/3e van de gevallen de auto. Je moet je goed realiseren dat je keuze bij wisselen aangestuurd is door de presentator (in 2 van de 3 gevallen "stuurt" hij je naar deur 1) en bij niet wisselen niet. En dat je wordt aangestuurd door de presentator die wel weet achter welke auto de deur zit, maakt nou net het verschil.

[arPos]

aanvankelijk 1/3 kans
vervolgens 1/2 kans

heel het verhaal met de presentator is een farce immers; de keuze die je erna maakt is gebasseerd op of je de presentator wel of niet vertrouwt, je kent heel die presentator niet persoonlijk en heb dus 0.nada om jezelf op je (on)geloof op te basseren, w.e de presentator doet is dus irrelevant behalve dat hij 1 deur doorstreept.

50/50 dus

deal or no deal: 2 kistjes over aan het eind... de bank doet een hoog bod...
o dan zal het wel in mijn kistje zitten... damn 1 euro gewonnen...

schijnlogica.

[Utopia]

arPos kan of niet lezen, of heeft het niet begrepen.
Het is simpel: Je kiest 1 deur, maar je krijgt er een tweede bij. Je kiest dus eigenlijk twee van de 3 deuren. Je kans is daarom 2 op 3.

[arPos]

Utopia schreef:

arPos kan of niet lezen, of heeft het niet begrepen.
Het is simpel: Je kiest 1 deur, maar je krijgt er een tweede bij. Je kiest dus eigenlijk twee van de 3 deuren. Je kans is daarom 2 op 3.

Ja maar je krijgt er dus geen 2e bij, immers je mag nog steeds maar 1 van de totaal 3 (of dan totaal 2) deuren kiezen...

de rest van het verhaal hangt af van heel het presentator zegt lulverhaaltje (geloof me ik snap hoe je op 2/3 komt)

maar wat de presentator zegt is irrelevant immers hij heeft 2 opties; 1: hij probeert je te overtuigen van de juiste deur in de hoop dat jij het tegengestelde doet en de foute pakt of hij probeert ala omgekeerde psychologie je naar de goede te lijden zodat je denkt... ze lijden me altijd naar de foute en dus eveneens de foute pakt.

aangezien je kompleet geen relatie met de presentator hebt is zijn persoonlijke keuze niet af te lezen en kan worden beschouwt als een 50/50 optie waar geen informatie uit te halen valt.

de enige relevante informatie is dus
ronde 1: 3 deuren 1 auto kans 1/3
ronde 2: 2 deuren 1 auto kans 1/2

Je kiest dus niet zoals jij zegt "2 van de 3 deuren" er wordt slechts 1 van de 3 opties afgestreept waarna Beau van erven doorns/alwetende presentator/bank je probeert te overtuigen van het een dan wel het ander, waarbij jij de intentie niet kent.

dabomans voorbeeld is leuk maar het is geen statisch gegeven dat de auto achter deur 1 zit, je kans is dus slechts 2/3 als je in eerste instantie al kiest voor een deur waar de auto niet achter zit, wederom een onbekende...

en aangezien jij niet op onbekenden gaat rekenen.
(op zich wel weer leuk want die kans is ook weer 2/3 dus dan is je totaal kans 2/3 van 2/3 wat nog iets minder dan 50% is (44 en een beetje namelijk))

ArPos, essentieel in dit probleem is dat de presentator wel degelijk met zekerheid de waarheid spreekt.

arPos schreef:

Ja maar je krijgt er dus geen 2e bij, immers je mag nog steeds maar 1 van de totaal 3 (of dan totaal 2) deuren kiezen...

de rest van het verhaal hangt af van heel het presentator zegt lulverhaaltje (geloof me ik snap hoe je op 2/3 komt)

maar wat de presentator zegt is irrelevant immers hij heeft 2 opties; 1: hij probeert je te overtuigen van de juiste deur in de hoop dat jij het tegengestelde doet en de foute pakt of hij probeert ala omgekeerde psychologie je naar de goede te lijden zodat je denkt... ze lijden me altijd naar de foute en dus eveneens de foute pakt.

aangezien je kompleet geen relatie met de presentator hebt is zijn persoonlijke keuze niet af te lezen en kan worden beschouwt als een 50/50 optie waar geen informatie uit te halen valt.

de enige relevante informatie is dus
ronde 1: 3 deuren 1 auto kans 1/3
ronde 2: 2 deuren 1 auto kans 1/2

Je kiest dus niet zoals jij zegt "2 van de 3 deuren" er wordt slechts 1 van de 3 opties afgestreept waarna Beau van erven doorns/alwetende presentator/bank je probeert te overtuigen van het een dan wel het ander, waarbij jij de intentie niet kent.

dabomans voorbeeld is leuk maar het is geen statisch gegeven dat de auto achter deur 1 zit, je kans is dus slechts 2/3 als je in eerste instantie al kiest voor een deur waar de auto niet achter zit, wederom een onbekende...

en aangezien jij niet op onbekenden gaat rekenen.
(op zich wel weer leuk want die kans is ook weer 2/3 dus dan is je totaal kans 2/3 van 2/3 wat nog iets minder dan 50% is (44 en een beetje namelijk))

Dus op het moment dat er 100 deuren zijn en jij kiest deur 1 en de presentator opent 98 deuren. Dan denk jij dat de kans dat de auto achter deur 2 zit even groot is als achter deur 1?

[arPos]

Kazet Nagorra schreef:

ArPos, essentieel in dit probleem is dat de presentator wel degelijk met zekerheid de waarheid spreekt.

Wat je in het echie dus niet weet/kan weten

maar het klopt dat je de 2e ronde met wisselen 2/3 keren de auto wint, alleen de voorwaarde is dat je dan al een deur zonder auto moet hebben gekozen...

iets dat je wederom niet weet/kan weten.
je kan het wel berekenen namelijk ronde 1 2/3 kans dat ik een deur zonder auto pak
ronde 2 ik wissel dus 2/3 kans dat ik dankzij onze lieve presentator een auto pak.

totaal ronde 1 ronde 2 -> 2/3 van 2/3 = 0.44 en een beetje.

kans zonder presentator 1/3
kans met presentator "op de gok" 1/2

Lucky Luciano schreef:

Dus op het moment dat er 100 deuren zijn en jij kiest deur 1 en de presentator opent 98 deuren. Dan denk jij dat de kans dat de auto achter deur 2 zit even groot is als achter deur 1?

Ja namelijk 1/100

logisch beredeneerd is het (wederom; zucht) zo dat de kans dat jij gelijk de auto pakt maar 1% is en het de kans dat je hem niet pakt 99% en daardoor de kans groter is dat niet jouw maar de andere overgebleven deur de juiste is.

maar puur statistisch heb je 1 auto en 100 deuren.

arPos schreef:

Wat je in het echie dus niet weet/kan weten

maar het klopt dat je de 2e ronde met wisselen 2/3 keren de auto wint, alleen de voorwaarde is dat je dan al een deur zonder auto moet hebben gekozen...

Nee, dat is helemaal geen voorwaarde. Als aan die voorwaarde wél is voldaan, is de kans dat je wint immers 100%.

arPos schreef:

Ja namelijk 1/100

logisch beredeneerd is het (wederom; zucht) zo dat de kans dat jij gelijk de auto pakt maar 1% is en het de kans dat je hem niet pakt 99% en daardoor de kans groter is dat niet jouw maar de andere overgebleven deur de juiste is.

maar puur statistisch heb je 1 auto en 100 deuren.

De eerste keer wel. Maar de 2e keer blijft die ene procent staan op deur 1. De overige 99% is eerst over 99 deuren verdeeld, maar daarna alleen over deur 2.

[JaJ]

Wat de presentator eigenlijk doet, is je de kans geven om, in plaats van één deur, de twee andere deuren open te maken en alles wat je tegenkomt te mogen houden. Logisch beredeneerd heb je dan meer kans om te winnen. intuitief echter (en daar loop jij dus tegen aan arpos, en eigenlijk iedereen de eerste keer) lijkt het niet uit te maken omdat je gewoon tussen twee deuren kiest.

Dat maakt het verhaaltje juist interessant

[mathfreak]

Zie ook http://www.kennislink.nl/publicaties...er-drie-deuren

[arPos]

JaJ schreef:

(en daar loop jij dus tegen aan arpos, en eigenlijk iedereen de eerste keer)

Nee hoezo loop ik daar tegenaan, het klopt als een bus dat je kans 2/3 is.
als in: "bij wisselen heb je in 2 van de drie mogelijke opties gewonnen"

het enige dat ik zeg is; om zeker te zijn dat je wint dien je in ronde 1 niet op de auto te staan en vervolgens in ronde 2 te wisselen, dat zijn 2 probabiliteitsacties niet 1.
immers als ik in ronde 1 op de auto sta en ik wissel is mijn kans om te winnen: juist 0%

[ganralph]

arPos schreef:

maar het klopt dat je de 2e ronde met wisselen 2/3 keren de auto wint, alleen de voorwaarde is dat je dan al een deur zonder auto moet hebben gekozen...

arPos schreef:

het enige dat ik zeg is; om zeker te zijn dat je wint dien je in ronde 1 niet op de auto te staan en vervolgens in ronde 2 te wisselen, dat zijn 2 probabiliteitsacties niet 1.
immers als ik in ronde 1 op de auto sta en ik wissel is mijn kans om te winnen: juist 0%

zie je dat je hier niet consequent bent?
in de eerste quote zeg je dat als je in de eerste ronde niet op de auto staat, je daarna 2/3 kans hebt.

in de tweede quote zeg je dat als je in de eerste ronde niet op de auto staat, je daarna 100% kans hebt.

eigenlijk leg je het in je tweede quote gewoon goed uit

uiteraard zijn er twee probibiliteitsacties, zo kom je juist op 2/3 uit. Als je alleen de tweede ronde speelt, heb je maar twee gelijkwaardige deuren en kom je dus nooit op 2/3 uit.

overigens is de betrouwbaarheid van de presentator een gegeven van het vraagstuk. zijn "sturing" is niets emotioneels of menselijks. dit kan ook door een machine gedaan worden.

[Joël]

Hmm.. Het is al weer lang geleden dat ik me met dit soort dingen heb bezig gehouden, maar het blijft wel interessant.

De uitleg waarbij er 100 deuren zijn is inderdaad verhelderend, maar dan nog valt niet bij alle mensen het kwartje.

Wat ook helpt bij dit soort problemen is simpel weg alle opties in een schema zetten, en tellen hoevaak je succes hebt en hoe vaak niet. Bij dit probleem zijn er niet eens zoveel mogelijk heden.

Tactiek 1 is: Je wissel nooit.

1) Prijs zit in deur 1
a. Je kiest in eerste instantie deur 1, presentator opent een deur, maar je wisselt niet, dus bingo.
b. Je kiest in eerste instantie deur 2, presentator opent een deur, maar je wisselt niet, dus geen prijs
c. Je kiest in eerste instantie deur 3, presentator opent een deur, maar je wisselt niet, dus geen prijs

2) Prijs zit in deur 2
a. Je kiest in eerste instantie deur 1, presentator opent een deur, maar je wisselt niet, dus geen prijs
b. Je kiest in eerste instantie deur 2, presentator opent een deur, maar je wisselt niet, dus bingo.
c. Je kiest in eerste instantie deur 3, presentator opent een deur, maar je wisselt niet, dus geen prijs

3) Prijs zit in deur 3
a. Je kiest in eerste instantie deur 1, presentator opent een deur, maar je wisselt niet, dus geen prijs
b. Je kiest in eerste instantie deur 2, presentator opent een deur, maar je wisselt niet, dus geen prijs
c. Je kiest in eerste instantie deur 3, presentator opent een deur, maar je wisselt niet, dus bingo.

Tactiek 2 is: Je wisselt altijd.

1) Prijs zit in deur 1
a. Je kiest in eerste instantie deur 1, presentator opent deur 2 of 3, jij gaat naar deur 3 of 2, geen prijs.
b. Je kiest in eerste instantie deur 2, presentator opent deur 3, jij gaat naar deur 1, bingo!
c. Je kiest in eerste instantie deur 3, presentator opent deur 2, jij gaat naar deur 1, bingo!

Hmm.. Eigenlijk is het zinloos om nu verder te gaan, want bij de andere deuren gaat het precies zo. Door de invloed van de presentator is het haast alsof je naar de juiste deur 'gestuurd' wordt als je in eerste instantie voor de verkeerde deur kiest.

Zoals je ziet, bij tactiek 1 zijn er 9 mogelijkheden, waarvan 3 met positieve uitkomst.
Bij tactiek 2 zijn er ook 9 mogelijkheden, waarvan 6 met positieve uitkomst.

Dit alles is natuurlijk veel beter in schema's te zetten, maar dat leek me ook een heel karwei op dit forum, dus doe ik het maar zo .

[Daboman]

Als je had gekeken had je gezien dat ik het ook al had gedaan Maar het is erg overtuigend, er valt praktisch niets tegenin te brengen.

[Xavier88]

leuk raadsel van 21.. je weet wel de film

[arPos]

ganralph schreef:

uiteraard zijn er twee probibiliteitsacties, zo kom je juist op 2/3 uit. Als je alleen de tweede ronde speelt, heb je maar twee gelijkwaardige deuren en kom je dus nooit op 2/3 uit.

Ja dat klopt ook gewoon het enige wat ik zeg is dat je niet zeker weet of je in de eerste ronde een deur zonder auto heb gekozen welk een voorwaarde is om vervolgens te wisselen

overigens is de betrouwbaarheid van de presentator een gegeven van het vraagstuk. zijn "sturing" is niets emotioneels of menselijks. dit kan ook door een machine gedaan worden.

Ik snap het vraagstuk en het klopt ook gewoon maar in r/l zou ik maar de presentator wantrouwen, bejaarden winnen altijd de staatsloterij, rara.