[WI] Wiskunde Differentiëren

Diamera · **16-11-2010, 17:31**

Ik begrijp weer eens niet waar ik mee bezig ben met wiskunde.

Het gaat over differentiëren en de kettingregel, ik dacht het aardig te snappen en ermee te kunnen werken, maar nu loop ik hier tegenaan:

Bepaal de afgeleide van deze functies:

1: $f(x) = x^{2} \: \sqrt[3]{x}$
Ik had hem herschreven als $f(x) = x^2 \: x^{1/3} => x^{2/3}$ en dan vervolgens $f'(x) = \frac {2}{3}x^{-1/3}$ en dan nog voor de mooiigheid $f'(x) = \frac {2}{3} \quad \cdot \quad \frac {1} {x^{1/3}}$ => $f'(x) = \frac {2}{3} \quad \cdot \quad \frac {1} {\sqrt[3]{x}}$ . Doe ik al die moeite en zegt dat programma (Digitale Wiskunde Omgeving) dat het fout is. Hij geeft alleen niet aan waar het fout gaat. Kan iemand dit aangeven?

2: $f(x) = \sqrt{x^2-x} + 3x$

Deze had ik herschreven als $f(x) = ({x^2-x})^{1/2} + 3x$ en dan $f(x) = ({x^2-x})^{1/2} + 3x$ . Maar wat moet ik nu met die $+3x$ ?
Ik dacht nu $f'(x) = 1/2({x^2-x})^{-1/2} + 3$ te moeten doen, je doet toch $f(x) = g(x) + h(x)$ dus ook $f'(x) = g'(x)+ h'(x)$ ?
Maar dat keurt ie af. Weet iemand hoe het wel moet?

Echt heel erg bedankt voor de moeite en de tijd om te antwoorden

Groetjes!

Dark_One · **16-11-2010, 17:42**

Citaat:

Diamera schreef:

Ik begrijp weer eens niet waar ik mee bezig ben met wiskunde.

Het gaat over differentiëren en de kettingregel, ik dacht het aardig te snappen en ermee te kunnen werken, maar nu loop ik hier tegenaan:

Bepaal de afgeleide van deze functies:

1: $f(x) = x^{2} \: \sqrt[3]{x}$
Ik had hem herschreven als $f(x) = x^2 \: x^{1/3} => x^{2/3}$

$f(x) = x^2 \: x^{1/3} => x^{7/3}$
$x^a*x^b=x^{a+b}$

De rest ging wel goed

Citaat:

Diamera schreef:

2: $f(x) = \sqrt{x^2-x} + 3x$

Deze had ik herschreven als $f(x) = ({x^2-x})^{1/2} + 3x$ en dan $f(x) = ({x^2-x})^{1/2} + 3x$ . Maar wat moet ik nu met die $+3x$ ?
Ik dacht nu $f'(x) = 1/2({x^2-x})^{-1/2} + 3$ te moeten doen, je doet toch $f(x) = g(x) + h(x)$ dus ook $f'(x) = g'(x)+ h'(x)$ ?
Maar dat keurt ie af. Weet iemand hoe het wel moet?

Hij keurt het af omdat je de kettingregel niet goed toepast bij het afleiden van g(x).
$\frac{d}{dx}g(u(x))=\frac{dg}{du}\frac{du}{dx}$

In dit geval is u(x)=x^2-x dus:
$\frac{du}{dx}=2x-1$

en g(u)=u^(1/2) dus:
$\frac{dg}{du}=1/2u^{-1/2}=\frac{1}{2}(x^2-x)^{-1/2}$

Dat samen geeft dus:
$\frac{d}{dx}g(u(x))=\frac{dg}{du}\frac{du}{dx}=(2x-1)\frac{1}{2}(x^2-x)^{-1/2}$
en je totale antwoord wordt dan:
$f'(x)=(2x-1)\frac{1}{2}(x^2-x)^{-1/2}+3$

Diamera · **16-11-2010, 18:16**

Wow wat een snelle reactie!

Maar bij die eerste keurt hij $x^{2/3}$ wel gewoon goed als herschrijving. Is dat dan een fout in het programma denk je? In dat geval laat ik het wel zitten en ga ik naar mijn docent, die heeft het in elkaar gezet.

En sorry maar bij de tweede gaat het me even te snel: Ik heb dus g(x) verkeerd afgeleid?

Ik heb het even opnieuw gedaan en heb nu $g(x) = \frac {1}{2\sqrt{x^2-x}} \quad = \quad 2(\sqrt{x^2-x})^{-1}$ Klopt dat nog?
Zou je alsjeblieft in stapjes willen voordoen wat ik dan moet doen? Want nu meen ik me iets te herinneren van $3* 2(\sqrt{x^2-x})^{-1}$ omdat 3 de afgeleide is van h(x)

Maar dan klopt f(x) = g(x) + h(x) dus f'(x) = g'(x) = h'(x) toch ook niet meer?
Ik volg niet wat je daar doet eigenlijk

Dark_One · **16-11-2010, 18:32**

De kettingregel kun je gebruiken als je een functie binnen een functie hebt. Nu heb je bijvoorbeeld $g(x)=(x^2-x)^{1/2}$ Dit kun je dus schrijven als $u^{1/2}$
met $u=x^2-x$ . Als je het invult krijg je gewoon weer $g(x)=(x^2-x)^{1/2}$

Als je nu de afgeleide van g(x) wil bepalen gebruik je de kettingregel die in feite zegt:
$\frac{dg}{dx}=\frac{dg}{du}*\frac{du}{dx}$ . Als je de du's tegen elkaar wegstreept zie je dan ook dat er dg/dx staat.

Het enige wat je nu nog moet doen is de afgeleiden bepalen en deze met elkaar vermenigvuldigen:
$\frac{dg}{du}=\frac{d}{du}(u^{1/2})=1/2u^{-1/2}$
$\frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}(x^2-x)=2x-1$
dus:
$\frac{dg}{dx}=\frac{dg}{du}*\frac{du}{dx}=1/2u^{-1/2}*(2x-1)$
Dan moet je nog je $u=x^2-x$ invullen en krijg je:
$g'(x)=1/2(x^2-x)^{-1/2}*(2x-1)$

Je totale afgeleide is inderdaag gewoon f'(x)=g'(x)+h'(x) en h'(x)=3. Dus krijg je:
$f'(x)=1/2(x^2-x)^{-1/2}*(2x-1)+3$

Mr.Mark · **16-11-2010, 18:41**

Zoals DarkOne de kettingregel al heeft gezegd.

Bij de kettingregel noem je wat er 'tussen de haakjes' staat 'u' en daarvan neem je de afgeleide. Dat moet je vermenigvuldigen met de afgeleide van 'u'.

Dus:
$f(x)=(2x-3)^{4}$
$f'(x)=4u^{3}*[u]'$
Dit invullen geeft:
$f'(x)=4(2x-3)^{3}*2$

Op dezelfde manier kun je die andere doen zoals DarkOne al zei.

Diamera · **16-11-2010, 20:51**

Ooh hee ik zie het, ik moest even goed kijken, maar ik ben dus vergeten $\:\frac{dg}{du}\:$ te vermenigvuldigen met de andere afgeleide, $\frac{du}{dx}$ .
Jullie leggen echt goed uit, het lijkt haast makkelijk zodra jullie helpen! Bedankt!

Al vrees ik dat ik hier nog wel een keer mee terug kom

16-11-2010, 20:51
Diamera	Ooh hee ik zie het, ik moest even goed kijken, maar ik ben dus vergeten $\:\frac{dg}{du}\:$ te vermenigvuldigen met de andere afgeleide, $\frac{du}{dx}$ . Jullie leggen echt goed uit, het lijkt haast makkelijk zodra jullie helpen! Bedankt! Al vrees ik dat ik hier nog wel een keer mee terug kom

Advertentie