[WI] Ellips: afstand pluto tot aard

[GotYa]

Hallo,

Ik heb een vraagstuk dat volgens mij erg simpel is, maar ik slaag er toch telkens in iets verkeerd te doen, en ik dus even hulp bij nodig heb.

"Volgens de wetten van Kepler bewegen planeten zich in ellipsvormige banen, waarbij de zon zich in een brandpunt bevindt. De lengte van de hoofdas van de baan die Pluto volgt bedraagt km en de lengte van de nevenas km. Bereken op 1km nauwkeurig de grootste afstand dat Pluto van de zon verwijderd kan zijn."

Wat ik denk:
De toppen (op mijn x-as) zijn P1(-a, 0) en P2(a, 0) en (y-as) R1(0, -b) en tot slot R2(0, b)

Omdat ik weet dat mijn hoofdas is, weet ik dat de helft daarvan gelijk is aan a. Uit mijn nevenas kan ik besluiten dat de b gelijk is aan de helft van . Nu weet ik ook dat en bijgevolg

Ik weet ook dat F1(-c, 0) en F2(c, 0). Dus ik weet dat de zon in één van die twee punten ligt. Dus, ligt Pluto in het punt P1 of P2. Dus doe ik c + a. Echter komt dit niet uit met de waarde die in het boek staat: 590 001 523km

Iemand die zit wat ik verkeerd doe?

[mathfreak]

Maak gebruik van de eigenschap dat PF₁+PF₂ = 2a, waarbij P een willekeurig punt op de ellips voorstelt.

[GotYa]

Ik heb deze eigenschap nog nooit tegengekomen. (omdat we nu de ellips aan het zien zijn). Ik begrijp deze eigenschap wel, maar ik zie niet in hoe ik deze hier kan toepassen. Zou je me even op weg kunnen zetten?

[mathfreak]

Je weet waar de maximale x- en y-waarden van je ellips zich bevinden omdat je a en b kent, en dus weet je ook waar je brandpunten zich bevinden. Stel P(p,q) is een variabel punt op de ellips. Druk nu de afstand van P tot de beide brandpunten uit in p en q, en gebruik het gegeven dat de som van deze 2 afstanden gelijk is aan 2a. De eigenschap die ik in mijn vorige reply noemde is de manier waarop de ellips als een verzameling punten gedefinieerd wordt.

[GotYa]

PF1 kan ik volgens mij schrijven als .
PF2 wordt dan Waarbij c = 1523154621.

En 2a = 1,18.10^10.


Dan zou ik zeggen: alles kwadrateren:


Uitgewerkt (even snel, dus mogelijk niet foutloos)


Dit dan verder uitwerken en met een discriminant werken of dergelijke?

[mathfreak]

Je hebt wel de kwadraten van beide wortels berekend, maar niet hun dubbele product. Merk verder op dat q in p kan worden uitgedrukt.

[GotYa]

Dubbele product hebt ik toch wel berekend?

(p - c)² = p² - 3,05.10^9p + 2,32.10^18 ?

En hoe kan ik q dan uitdrukken t.o.v. van p?

[mathfreak]

GotYa schreef:

Dubbele product hebt ik toch wel berekend?

(p - c)² = p² - 3,05.10^9p + 2,32.10^18 ?

En hoe kan ik q dan uitdrukken t.o.v. van p?

Er is een eenvoudiger aanpak. De grootste afstand wordt namelijk gegeven door 2a-c, dus omdat je a en c kent kun je deze afstand berekenen.

[GotYa]

Beste Mathfreak,

De oplossing is a + c. Dit had ik als eerste ook al gevonden, maar omdat dit niet klopte met de oplossingen uit het boek, dacht ik dat dit fout was. Blijkbaar was het boek fout, en was mijn oplossing correct.

[mathfreak]

GotYa schreef:

Beste Mathfreak,

De oplossing is a + c. Dit had ik als eerste ook al gevonden, maar omdat dit niet klopte met de oplossingen uit het boek, dacht ik dat dit fout was. Blijkbaar was het boek fout, en was mijn oplossing correct.

Hieruit blijkt maar weer eens dat je nooit blindelings op antwoorden uit een boek moet vertrouwen. Goed dat je in ieder geval de correcte oplossing hebt gevonden.