[WI] Wortelfunctie differentiëren.

x.lisanne · **19-04-2012, 15:05**

Hallo iedereen,

Ik ben vandaag aan het oefenen voor mijn examens, maar ik loop tegen een vraag aan. Ik moet de volgende functie differentiëren om vervolgens een minimum te kunnen berekenen:

60 wortel (X^2+1000) + 65 wortel (X^2 - 150X + 10000) + 2000

Voor de duidelijkheid heb ik hetgeen wat onder de wortel staat tussen haakjes gezet, maar dit is in de opgave niet het geval.

Is er iemand die mij in stappen kan uitleggen hoe ik dit het beste kan aanpakken? Ik vind het namelijk moeilijk om in te schatten of ik moet gaan kwadrateren of hetgeen ^0,5 te doen.

Alvast bedankt!

Em. · **19-04-2012, 15:17**

Als je het kwadrateert heb je niet meer dezelfde functie. Je moet het dus opschrijven als: (....)^0,5 waarbij (....) het deel onder de wortel is. Vervolgens neem je daar de afgeleide van, dat wordt dan dus 0,5*(.....)^-0,5 * de afgeleide van wat tussen haakjes staat (want kettingregel).

Heb je bijvoorbeeld wortel 2x, dan wordt dat 2x^0,5 en de afgeleide is dan:
0,5*2x^-0,5 * 2 => (2x)^-0,5

ThomasJu · **19-04-2012, 15:29**

er zijn op internet allemaal sites te vinden die differentiëren.
sommige geven gelijk het antwoord, er zijn er ook een paar die de tussen stappen laten zien.

ik gebruik meestal deze site ter controle:
http://www.wisfaq.nl/showfaq3.asp?Id=12421
als je dan deze formule
60*(X^2+1000)^0.5+65 *(X^2-150x +10000)^0.5+2000
invult komt er dit uit:

en nu de uitleg stap voor stap:
2000 is makkelijk, dat wordt 0

de standaard afgeleide van $\sqrt{x} \cdot \frac{dx}{dy}= \frac{1}{2\sqrt{x}}$
Die 1 komt van de afgeleide van x. dus stel dat er dit stond:

$\sqrt{4x^2} \cdot \frac{dx}{dy}= \frac{8x}{2\sqrt{4x^2}}$

Nu terug naar de formule:

$60\cdot\sqrt{x^2+1000} \cdot \frac{dx}{dy}= 60\cdot\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1000}}=\frac{60x}{\sqrt{x^2+1000}}$
zowel boven als onder de breuk staat een 2, die kan je wegstrepen.
65 (X2-150x +10000)0.5

$65\cdot\sqrt{x^2-150x+10000} \cdot \frac{dx}{dy}=65\cdot\frac{2x-150}{2\sqrt{x^2-150x+10000}}=\frac{32,5(2x-150)}{\sqrt{x^2-150x+10000}}$

nu de laatste formules optellen en je bent klaar...

Siron · **20-04-2012, 14:18**

Ik ben het eens met je antwoorden, maar ik heb een opmerking/vraag over de notatie hier:

Citaat:

ThomasJu schreef:

de standaard afgeleide van $\sqrt{x} \cdot \frac{dx}{dy}= \frac{1}{2\sqrt{x}}$ .

Deze notatie (voor een afgeleide) ben ik nog nooit tegengekomen, wat je daar schrijft lijkt meer op een differentiaalvergelijking. Als je de Leibniz notatie wilt gebruiken kan je (om verwarring te vermijden) best dit schrijven:
$\frac{d}{dx}\left(\sqrt{x}\right)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

Advertentie