[WI] vraagstukken met 1 onbekende

[Woopa]

Heey iedereen! Zoals de titel al doet vermoeden zit ik vast bij 2 vraagstukken met 1 onbekende (x).
Het eerste vraagstuk luidt als volgt: De straal van een cirkel is een meter korter dan de zijde van een vierkant. De Beide figuren hebben dezelfde omtrek. Berekende de straal van de cirkel op 0.01 m nauwkeurig. Ik weet dat de oplossing 1.75 m is (staat achteraan ons handboek) maar ik heb geen idee hoe ik er moet geraken. Ik stelde de zijde van het vierkant gelijk aan x en de straal van de cirkel gelijk aan x-1. Zo kwam ik tot de vergelijking: 2x-2 * pi = 4x. Die 2x-2 komt van de diameter. Want de diameter is 2 keer de straal. En die 4x komt van x+x+x+x, de zijden van het vierkant dus. Ik vermoed dat het hier al fout gaat, aangezien ik steeds met pi vast zit. Iemand die me kan helpen?


Het tweede vraagstuk dan. Een trapezium met hoogte a vierkantswortel 6 en met een grote basis die driemaal zo lang is als de kleine basis, heeft als oppervlakte a²vierkantswortel 3. Ik weet dat de vierkantswortels niet zo duidelijk zijn, maar ik weet niet hoe je ze moet typen. De getallen die ik typte zijn dus 1 getal. Dan moet ik de lengte van de grote basis en de kleine basis berekenen. Dus ik zeg: x is de lengte van de kleine basis 3x is de lengte van de grote basis. Dan volgens de formule om de oppervlakte te berekenen: a²vierkantswortel 3 = (x+3x) * a vierkantswortel 6 dan een breukstreep en daar onder gedeeld door 2. Dus basis 1 + basis 2 * hoogte, gedeeld door 2. En dan loopt het dus weer fout. Ik probeerde al sommige op te tellen maar dan kwam ik weer niet uit. Ik hoop dat m'n uitleg wat duidelijk is en dat jullie me kunnen helpen? Ook zou ik degene die me kan uitleggen hoe ik een wortelteken hier schrijf dankbaar zijn!

Mvg Woopa

[Tochjo]

Bij het eerste probleem is de vergelijking correct. Hieruit volgt , dus de straal van de cirkel is ongeveer .

[mathfreak]

De vergelijking (2x-2)π = 4x klopt. Merk op dat dit te vereenvoudigen is tot (x-1)π = 2x. Werk nu links de haakjes eens uit en zorg er daarna voor dat je links alleen termen met x over houdt en rechts alleen termen zonder x. Bepaal daaruit x.
Bij het tweede vraagstuk moet gelden dat ½(x+3x)a√6 = a²√3. Merk op dat x+3x = 4x, dus wat krijg je links te staan? Bepaal daaruit x.
Opmerking: het is mogelijk om vanuit Word diverse symbolen te kopiëren en in je reply te plakken, zoals ik hier ook gedaan heb. Verder vind je bovenaan op het forum een topic over het werken met LaTex.

[Woopa]

Dus als ik het goed begrijp krijg je bij het eerste dan links te staan xπ - 2x = π ? Maar dan weet ik niet wat daaruit volgt...
Bij het tweede vraagstuk krijg je links dan 4xa vierkantswortel 6 = a² vierkantswortel 3? En hoe reken je dat dan verder uit?

[Tochjo]

Omdat xπ - 2x = x(π - 2) volgt x = π/(π - 2). Ook in het tweede probleem kun je in het linkerlid een x buiten haakjes halen en zo de vergelijking oplossen.

[Woopa]

Het eerste probleem is opgelost, nu dat laatste nog. Ik krijg dan als vergelijking: x = a² vierkantswortel 3 / 4a vierkantswortel 6. Nu weet ik niet hoe ik dit moet uitrekenen, het kan zijn dat ik dit nog moet zien in de les. Maar hoe reken je dit eigenlijk uit? Mvg

[Tochjo]

Achtereenvolgens
- delen we door a;
- werken we de wortel uit de noemer weg, wat kan door teller en noemer te vermenigvuldigen met dezelfde wortel als in de noemer staat, want √6/√6 = 1 en zo krijgen we √6√6 = √36 = 6 in de noemer;
- herleiden we √18 tot 3√2;
- schrijven we het resultaat in de vorm getal keer wortel.

Overigens denk ik dat je de factor ½ in de vergelijking over het hoofd gezien hebt bij het oplossen van de vergelijking, dus dat je gevonden oplossing niet helemaal klopt. Kun je met bovenstaande informatie zelf op het antwoord komen?

[Woopa]

Het is me duidelijk die leerstof nog niet gezien heb, dus ik begrijp er ook niet al te veel van. Het lijkt me best om dit vraagstuk eventjes te laten rusten. Maar zou je me kunnen helpen met een volgend vraagstuk? Het luidt als volgt. De leerlingen van een derde jaar willen een ontwikkelingsproject steunen. Ze besluiten hiervoor een junglekind te adopteren. Als ze elk €5 geven, hebben ze €15 op overschot. Geven ze elk €4, dan hebben ze €10 te kort. Vraag 1: Hoeveel leerlingen zitten er in de klas.

Vraag 2: Hoeveel moeten ze per persoon betalen om precies het vereiste bedrag te hebben?

Het probleem is dus dat ik al vast zit bij de eerste vraag. Ik dacht dat vergelijking 5x+15 = 4x -10 was, maar dat klopt dus niet. Dan kom ik dus aan 5 lln. , terwijl er achteraan ons boek als oplossing 25 staat. Nu weet ik dus ook niet hoe ik daaraan moet komen en ik dus ook vraag 2 niet oplossen. Iemand die me wat kan helpen?

[ThomasJu]

Los die vergelijking nog eens op. Want 5 klopt niet.
5*5 + 15 = 25+15 = 40
4*5 -10 = 20-10 = 10

Dit is duidelijk niet aan elkaar gelijk.

Neem x = aantal leerlingen
y = kosten voor 1 junglekind

5x = y+15
4x = y -10

Je zien nu duidelijk dat ze bij 5€ 15 euro overschot hebben.
Haal nu die 15 en 10 naar de andere kant:

5x -15 = y
4x +10 = y


Je ziet nu dat jij de plusjes en de minnetjes omgedraaid had. Bij jou vergelijking zou je om -25 uit komen. En bij de bovenstaande kom je netjes op 25.

[Woopa]

Bedankt, maar het gaat hier om een vergelijking van de eerste graad met één onbekende, en jij gebruikt er hier twee?

[ThomasJu]

Owja.
Maar het maakt het wel logischer. Want zonder had je de plus en minder omgewisseld. Met die tweede variabele kan je het verhaaltje duidelijk opschrijven (eventueel op een kladblaadje). Daarna kan je hem er gelijk uitwerken.


Maar ik neem aan dat je pas begonnen bent met 1 variabele. Als het met 2 variabele te lastig wordt moet je het natuurlijk niet doen. Als je het begrijpt is dat alleen maar een goed teken!

[Woopa]

Ik begrijp het zeker en vast. Maar als je nu kijkt en je zou logisch nadenken dan zou je er achter kunnen komen dat je eigenlijk -15 en +10 moet doen, maar goed, met zo'n vergelijking met y erbij is het natuurlijk wel stukken simpeler.

[Woopa]

Ondertussen heb ik tegen maandag een toets er over en vroeg ik me nog iets af. Je zegt bij het eerste dat (2x-2)π = 4x gelijk is aan (x-1)π = 2x. Je deelt dus beide leden door 2, maar waarom deel je die π dan niet door 2? Want dat is toch ook een factor?

[Tochjo]

Je moet elke term door twee delen, niet elke factor. Een term is iets wat je optelt of aftrekt, een factor iets wat je vermenigvuldigt of deelt. Bij 2 + 7x zijn 2 en 7x termen. De term 7x bestaat weer uit de factoren 7 en x.

Als ik 1024 door twee deel, dan krijg ik 512. Ik kan 1024 schrijven als 2 x 4 x 8 x 16. Dan moet ik niet zowel 2, als 4, als 8, als 16 door twee gaan delen, want dan deel ik vier keer door 2. Voor (2x-2)π kan ik schrijven 2(x-1)π, en net zoals bij bovenstaand getallenvoorbeeld is dit één term die is opgebouwd uit drie factoren en moet ik niet elke factor door 2 gaan delen. Als ik 2 + 4 + 8 + 16 door 2 moet delen, dan wordt dit wel 1 + 2 + 4 + 8.

Niet mijn duidelijkste uitleg denk ik, maar is het duidelijk genoeg voor je?

[Woopa]

Ja, ik begrijp het. Nu is er weer een probleempje opgedoken. We moeten en zin kunnen omschrijven naar een vergelijking, en eentje lukt me weer niet. De zin luidt als volgt:

trek je drie vierden van een getal af van twee, dan vind je nul.

Ik weet dat de oplossing 8/3 moet zijn (denk ik toch, staat achteraan ons boek) maar ik kom er maar niet. Ik dacht aan de volgende vergelijking: 2 - (x - 3/4) = 0. Nu kwam ik er dus achter dat deze vergelijking niet klopt. Ik kom steeds 11/4 uit.

[ThomasJu]

"drie vierden van een getal"

is (3/4)*x

vervolgens trek je dit van 2 af

2 - (3/4)x =0

[Woopa]

Holy crap, nu je het zegt. Verkeerd begrepen dus. Bedankt voor de opheldering!

[Woopa]

Nog een vraagstukje gevonden dat ik niet weet op te lossen... Het luidt als volgt:
Je neemt een stapel speelkaarten en legt de kaarten in hoopjes van vier. Je houdt één kaart over.

Leg je de kaarten in hoopjes van vijf, dan houd je twee kaarten over. Er zijn twee hoopjes van vier kaarten meer dan er hoopjes van vijf kaarten zijn.

Hoeveel kaarten zitten in de stapel.

In het tweede jaar lukte me het ook al niet om een gelijkaardig vraagstuk op te lossen. Ik krijg het gewoon niet voor mekaar om die stapeltjes van 5 + 2 kaarten en die stapeltjes van 4 +1 uit te drukken met daar nog eens bij gegeven dat als je ze in stapeltjes van 4 legt er twee stapeltjes meer zijn.

Ik stelde het aantal kaarten gelijk aan x en dacht aan de volgende vergelijking.
x / 5 + 2 = x / 4 + 1 + x / 2

Maar dat klopt niet... Iemand die me op weg kan helpen?

[mathfreak]

Stel dat je a hoopjes van 4 kaarten en b hoopjes van 5 kaarten hebt. dan moet gelden dat 4a+1 = 5b+2. Verder weet je dat a+2 = b. Bepaal aan de hand hiervan het aantal kaarten.

[Woopa]

Dat is dus het probleem, ik mag maar met 1 onbekende werken en niet met 2... En wij gebruiken dan meestal x. Maar kan je die a en b dan niet vervangen door x? 4x + 1 + x + 2 = 5x + 2? Neen, dat klopt niet...

[ThomasJu]

mathfreak schreef:

4a+1 = 5b+2
a+2 = b

Zoals ik al een keertje gezegd heb, voor sommige dingen is het handiger om gewoon 2 variabelen te gebruiken. Hier gebruik je een een soort hulp variabele. Die je later weer weg kan halen.

Je weet dat b = a+2

Je mag hier dus gewoon de b vervangen:
4a+1 = 5b+2
4a+1 = 5(a+2)+2

Je hebt nu 1 variabele. (Deze kan je vervangen door x, omdat dat vaker voorkomt: )
4x+1 = 5(x+2)+2

Dit is eenvoudig op te lossen (door eerst de haakjes weg te werken)

[Woopa]

Hoe komen jullie aan a+2 = b? Er staat dat er 2 hoopjes van 4 meer zijn, dan schrijf je dat toch als 2(a+2)?

[ThomasJu]

Mathfreak:
"Stel dat je a hoopjes van 4 kaarten en b hoopjes van 5 kaarten hebt."

Opdracht
"Er zijn twee hoopjes van vier kaarten meer dan er hoopjes van vijf kaarten zijn."

"Er zijn twee hoopjes van vier kaarten=a meer dan er hoopjes van vijf kaarten=b zijn."

2+a =b

[Woopa]

Sorry voor de late reactie, veel werk met school gehad en wat ziekjes geweest (eigenlijk nog steeds). Als ik dan alles uitreken klopt het dan dat je het volgende krijgt?
-x = 11
x = -11

Dat klopt niet hé?

[mathfreak]

Laten we eens een andere aanpak proberen. Stel dat je x hoopjes van 4 kaarten hebt, dan zijn er x-2 hoopjes van 5 kaarten. Voor het totaal aantal kaarten moet nu gelden dat 4x+1 = 5(x-2)+2. Bepaal nu x en bepaal daarmee het totaal aantal kaarten.

[Woopa]

Dan krijg je
-x = -9
x = 9

En om je totaal aantal kaarten te berekenen moet je dan 4 * 9 + 1 doen of 5 * ( 9-2 ) + 2 ? Want dat zou overeen komen met de oplossing achteraan m'n boek.